模態(tài)分析經(jīng)典課件.ppt

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1、第 四 章 模 態(tài) 分 析 第 四 章 模 態(tài) 分 析 4.1 引 言 4.2 實 模 態(tài) 分 析 4.3 復(fù) 模 態(tài) 分 析 4.4 試 驗 模 態(tài) 分 析 緒 論 機(jī) 械 振 動 的 研 究 對 象 、 意 義 數(shù) 學(xué) 準(zhǔn) 備 和 運(yùn) 動 學(xué) 緒 論機(jī) 械 振 動 的 研 究 對 象 、 意 義 振 動 ， 是 指 物 理 量 在 它 的 平 均 值 附 近 不 斷 地經(jīng) 過 極 大 值 和 極 小 值 而 往 復(fù) 變 化 的 過 程 。 機(jī) 械 振 動 指 機(jī) 械 或 結(jié) 構(gòu) 在 它 的 靜 平 衡 位 置 附近 的 往 復(fù) 彈 性 運(yùn) 動 。 機(jī) 械 振 動 研 究 的 對 象 是 機(jī)

2、 械 或 結(jié) 構(gòu) ， 即 具 備質(zhì) 量 和 彈 性 的 物 體 。 在 理 論 分 析 時 ， 需 要 把機(jī) 械 或 結(jié) 構(gòu) 按 照 力 學(xué) 原 理 ， 通 過 數(shù) 學(xué) 建 模 ，抽 象 為 力 學(xué) 系 統(tǒng) （ 又 稱 為 數(shù) 學(xué) 模 型 ） 。 可 以 產(chǎn) 生 機(jī) 械 振 動 的 力 學(xué) 系 統(tǒng) 稱 為 振 動 系 統(tǒng) 。 振 動 系 統(tǒng) 三 要 素 及 其 關(guān) 系 振 動 系 統(tǒng) 的 三 要 素 ： 激勵 、 系 統(tǒng) 和 響 應(yīng) 外 界 對 振 動 系 統(tǒng) 的 激 勵或 作 用 ， 稱 為 振 動 系 統(tǒng)的 激 勵 或 輸 入 。 系 統(tǒng) 對 外 界 影 響 的 反 映 ，稱 為 振 動

3、系 統(tǒng) 的 響 應(yīng) 或輸 出 。 二 者 由 系 統(tǒng) 的 振 動 特 性相 聯(lián) 系 。 三 種 基 本 振 動 問 題 響 應(yīng) 分 析 ： 在 擾 動 條 件 和系 統(tǒng) 特 性 已 知 的 情 形 下 ，求 系 統(tǒng) 的 響 應(yīng) 系 統(tǒng) 識 別 ： 分 析 已 知 的 激勵 與 響 應(yīng) ， 確 定 振 動 系 統(tǒng)的 性 質(zhì) 環(huán) 境 預(yù) 測 ： 已 知 振 動 系 統(tǒng)和 在 未 知 激 勵 下 的 響 應(yīng) ，研 究 該 未 知 激 勵 的 性 質(zhì) 響 應(yīng) 分 析 車 輛 在 給 定 的 路 面 上 行 走 ， 求 車 身 的 加 速 度 響 應(yīng) 工 程 提 法 ： 系 統(tǒng) 設(shè) 計 在 一 定 的

4、激 勵 條 件 下 ， 如 何 來 設(shè) 計 系 統(tǒng) 的 特性 ， 使 得 系 統(tǒng) 的 響 應(yīng) 滿 足 指 定 的 條 件 。 系 統(tǒng) 識 別 方 法 ： 以 某 種 已 知 的 激 振 力 作 用 在 被 測 振 動系 統(tǒng) 上 ， 使 其 產(chǎn) 生 響 應(yīng) ， 根 據(jù) 已 知 的 激 勵 和測 量 得 到 的 響 應(yīng) 量 值 ， 進(jìn) 而 根 據(jù) 一 定 的 分 析方 法 （ 模 態(tài) 分 析 ） ， 確 定 系 統(tǒng) 的 振 動 參 數(shù) ，如 ： 質(zhì) 量 矩 陣 ， 剛 度 和 阻 尼 矩 陣 以 及 系 統(tǒng) 的振 型 和 固 有 頻 率 向 量 。 模 態(tài) 試 驗 環(huán) 境 預(yù) 測 例 ： 振 源

5、判 斷 、 載 荷 識 別 、 基 于 振 動 信 號 的工 況 監(jiān) 視 與 故 障 診 斷 。 例 ： 用 五 輪 儀 來 測 量 路 面 的 不 平 度 對 于 五 輪 儀 ， 其 系 統(tǒng) 特 性 已 知 ， 通 過 測量 五 輪 儀 的 輸 出 ， 可 以 反 推 出 路 面 的 不 平 度特 性 。 機(jī) 械 振 動 的 作 用 消 極 方 面 ： 影 響 儀 器 設(shè) 備 功 能 ， 降 低 機(jī) 械 設(shè)備 的 工 作 精 度 ， 加 劇 構(gòu) 件 磨 損 ， 甚 至 引 起 結(jié)構(gòu) 疲 勞 破 壞 。 積 極 方 面 ： 利 用 振 動 性 能 的 設(shè) 備 機(jī) 械 振 動 的 破 壞 作 用

6、 顫 振 ： 大 氣 紊 流 和 其 他 振 源 都 會 使 飛 機(jī) 等 飛 行 器產(chǎn) 生 振 動 （ 舒 適 性 ， 機(jī) 載 儀 表 ） 自 激 振 動 ： 輸 電 線 的 舞 動 1940年 美 國 塔 可 馬 (Tacoma Narrows)吊 橋 在 中 速風(fēng) 載 作 用 下 ， 因 橋 身 發(fā) 生 扭 轉(zhuǎn) 振 動 和 上 下 振 動 造成 坍 塌 事 故 1972年 日 本 海 南 的 一 臺 66 104kW汽 輪 發(fā) 電 機(jī) 組 ，在 試 車 過 程 中 發(fā) 生 異 常 振 動 而 全 機(jī) 毀 壞 ； 步 兵 在 操 練 時 ， 不 能 正 步 通 過 橋 梁 ， 以 防 發(fā) 生

7、 共振 現(xiàn) 象 造 成 橋 梁 坍 塌 機(jī) 械 振 動 的 積 極 作 用 共 振 放 大 利 用 顆 粒 的 振 動 進(jìn) 行 清 洗 ， 拋 光 ， 零 件 去 毛 刺 ； 利 用 振 動 減 小 零 部 件 之 間 的 摩 擦 阻 力 和 間 隙 閥 體 閥 芯 電 磁 鐵 學(xué) 習(xí) 機(jī) 械 振 動 的 意 義1. 進(jìn) 行 結(jié) 構(gòu) 動 強(qiáng) 度 設(shè) 計 的 需 要 2. 消 除 有 害 的 振 動 3. 利 用 振 動 有 利 的 一 面 4. 是 學(xué) 好 相 關(guān) 知 識 的 基 礎(chǔ) 離 散 系 統(tǒng) 的 基 本 元 件 機(jī) 械 振 動 系 統(tǒng) ： 慣 性 元 件 ， 彈 性 元 件 ， 阻 尼

8、 元 件 ， 外 界 激 勵 。 通 常 用 物 理 量 ： 質(zhì) 量 M， 剛 度 K， 阻 尼 C， 和 外 界 激 勵 F表 示 。x1 k x2 x1 c x2 振 動 分 類按 系 統(tǒng) 分 ： 線 性 系 統(tǒng) 和 非 線 性 系 統(tǒng) 離 散 系 統(tǒng) 和 連 續(xù) 系 統(tǒng) 確 定 性 系 統(tǒng) 和 隨 機(jī) 系 統(tǒng)按 激 勵 分 ： 自 由 振 動 受 迫 振 動 自 激 振 動 參 數(shù) 共 振 振 動 分 類按 響 應(yīng) 分 ： 簡 諧 振 動 周 期 振 動 非 周 期 振 動 隨 機(jī) 振 動 按 自 由 度 分 ： 單 自 由 度 振 動 多 自 由 度 振 動 連 續(xù) 體 振 動 運(yùn) 動

9、 學(xué)一 、 簡 諧 運(yùn) 動按 時 間 的 正 弦 函 數(shù) (或 余 弦 函 數(shù) )所 作 的 振 動 sinx A t 振 幅 相 位 初 相 位圓 頻 率 運(yùn) 動 學(xué)簡 諧 振 動 的 速 度 和 加 速 度 sinx A t 位 移速 度加 速 度 cosx A t 2sinx A t 大 小 和 位 移 成 正 比方 向 和 位 移 相 反 ， 始 終 指 向 平 衡 位 置 運(yùn) 動 學(xué)拍 1 2 1 2sin sin ,a t b t 不 同 頻 率 振 動 的 疊 加頻 率 接 近 于 相 等 時 拍 的 頻 率 ： 每 秒 中 振 幅 從 最 小 值 經(jīng) 過 最 大 值 到 最 小

10、 值 的 次 數(shù)拍 的 圓 頻 率 ： 12 1 2 運(yùn) 動 學(xué)簡 諧 振 動 的 復(fù) 數(shù) 表 示復(fù) 平 面 上 的 一 點 z代 表 一 個 矢 量使 該 矢 量 以 等 角 速 度 在 復(fù) 平 面 內(nèi) 旋 轉(zhuǎn) （ 復(fù) 數(shù) 旋 轉(zhuǎn) 矢 量 ） tPA 實 軸虛 軸 cos sin i tz A t i t Ae sin Im Im i ty A t z Ae cos sinie x i 運(yùn) 動 學(xué)速 度 、 加 速 度 的 復(fù) 數(shù) 表 示位 移 i tx Ae速 度 i t i tdx Ae i Aedt 加 速 度 2i t i tdx dx i Ae Aedt dt 1 ie /2ie

11、i /2iA e i tA e 對 復(fù) 數(shù) Aeit每 求 導(dǎo) 一 次 ， 相 當(dāng) 于 在 它 的 前 面 乘 上 一 個 i， 而 每 乘上 一 個 i， 相 當(dāng) 于 把 這 個 復(fù) 數(shù) 旋 轉(zhuǎn) 矢 量 逆 時 針 旋 轉(zhuǎn) /2 運(yùn) 動 學(xué)諧 波 分 析把 一 個 周 期 函 數(shù) 展 開 成 傅 立 葉 級 數(shù) ， 亦 即 展 開 成 一 系 列 簡 諧 函 數(shù) 之 和一 般 的 周 期 振 動 可 以 通 過 諧 波 分 析 分 解 成 簡 諧 振 動 運(yùn) 動 學(xué)諧 波 分 析傅 立 葉 級 數(shù) 0 1 1 2 11 1 2 1 0 1 11cos cos2 .2sin sin2 .cos

12、 sin2 n nnaF t a t a tb t b ta a n t b n t 1:基 頻 0 02 Ta F t dtT 102 cosTna F t n tdtT 102 sinTnb F t n tdtT 諧 波 分 析兩 個 頻 率 相 同 的 簡 諧 振 動 可 以 合 成 一 個 簡 諧 振 動 1 1 1cos sin sinn n n na n t b n t A n t 2 2 n n nA a b tan nn nab 把 諧 波 分 析 的 結(jié) 果 形 象 化 ： An， n和 之 間 的 關(guān) 系 用 圖 形 來 表 示 ， 稱 為 頻 譜 單 自 由 度 系 統(tǒng)

13、自 由 振 動 簡 諧 振 動 非 周 期 強(qiáng) 迫 振 動 自 由 振 動 振 動 系 統(tǒng) 在 初 始 激 勵 下 或 外 加 激 勵 消 失 后 的運(yùn) 動 狀 態(tài) 。 自 由 振 動 時 系 統(tǒng) 不 受 外 界 激 勵 的 影 響 ， 其 運(yùn)動 時 的 能 量 來 自 于 初 始 時 刻 彈 性 元 件 和 慣 性元 件 中 存 儲 的 能 量 。 振 動 規(guī) 律 完 全 取 決 于 初 始 時 刻 存 儲 的 能 量 和系 統(tǒng) 本 身 的 性 質(zhì) 。 運(yùn) 動 微 分 方 程 振 動 系 統(tǒng) 在 初 始 激 勵 下 或 外 加 激 勵 消 失 后 的 運(yùn) 動 狀 態(tài) 。 自 由 振 動 時

14、系 統(tǒng) 不 受 外 界 激 勵 的 影 響 ， 其 運(yùn) 動 時 的 能 量 來 自于 初 始 時 刻 彈 性 元 件 和 慣 性 元 件 中 存 儲 的 能 量 。 振 動 規(guī) 律 完 全 取 決 于 初 始 時 刻 存 儲 的 能 量 和 系 統(tǒng) 本 身 的 性 質(zhì) 。O隔 離 體 受力 分 析kx ( )x tmk 運(yùn) 動 微 分 方 程 運(yùn) 動 微 分 方 程 0 00(0) , (0) mx kxx x x x2 n0 00(0) , (0) x xx x x xn km 運(yùn) 動 微 分 方 程 解 1 2cos sincos( )n nnx A t A tA t 1 0A x 02

15、n xA22 00 2n xA x 00 narctan xx 運(yùn) 動 微 分 方 程 單 自 由 度 系 統(tǒng) 無 阻 尼 自 由 振 動 是 簡 諧 振 動 n2 2 mT k nn 1 12 2 kf T m 能 量 關(guān) 系 意 義 ： 慣 性 力 的 功 率 Fm與 彈 性 力 的 功 率 Fs之 和 為 零 d d 0d dx xmx kxt t 2 2d 1 1 0d 2 2 mx kxt 2 21 12 2TE mx U kx TE U E 能 量 關(guān) 系 TE U E2 2 2n n1 sin ( )2TE mA t 2 2 n1 cos ( )2U kA t 22 2 00 2

16、n1 1( )2 2T xE U kA x 能 量 關(guān) 系 Rayleigh商 2 2max1 12 2T mA mx 動 能 系 數(shù) 2 maxn Ukm T 阻 尼 自 由 振 動 方 程 0 0 0(0) , (0) 0mx cx kxx x x kxcxck x mmO20 02 0(0) , (0) 0n nx x xx x x n22 c cmmk 阻 尼 自 由 振 動 解 estx A 特 征 方 程 2 0ms cs k 2 22 0n ns s 臨 界 阻 尼 2 2e nc mk m 22e nc c cc mmk 阻 尼 自 由 振 動 特 征 方 程 解 21,2 1

17、n ns -2 -1 0 1 -1 0 1 Re Im 阻 尼 自 由 振 動 方 程 的 通 解 1 21 2( ) s t s tx t Ae Ae 三 種 情 況 1， 相 異 實 根 。 阻 尼 大 于 臨 界 阻 尼 。 強(qiáng) 阻 尼 =1， 重 根 。 阻 尼 等 于 臨 界 阻 尼 1 =1 21,2 ( 1) ns 2 21 11 2( ) ( )n nn t ttx t e Ae Ae 1,2 ns 1 2( ) ( ) ntx t A A t e 阻 尼 自 由 振 動 1 21,2 ( i 1 ) ns 阻 尼 固 有 頻 率 2 n1d 1 2( ) ( cos sin

18、)nt d dx t e c t c t ( ) cos( )nt dx t Xe t 1 0 2 0, ( )/n dc x c x x 阻 尼 自 由 振 動 對 數(shù) 衰 減 率 12 112 1cos( )cos( nnt dt dXe txx Xe t 1 2( ) n n dt t Te e2 1 n dTx xe 1 22 2ln 1n dx Tx 簡 諧 強(qiáng) 迫 振 動 2 22 cosn n nx x x A t kxcxck x mm xO 0 cosF t 方 程 解 22 2 n ncoscos( ) 1 ( ) 2nt d X tx Be t 簡 諧 強(qiáng) 迫 振 動 系

19、 數(shù) 22 0 00 1 0 00tan nd ndx xB x x xx 2 2 2n n1 n 2n1 ( ) 22tan 1 ( )AX 簡 諧 強(qiáng) 迫 振 動 放 大 系 數(shù) 2 22n n11 ( ) 2XA 01234 X/A 0.5 1 / n1 0.70.40.30.21.0 0 0 0 1 2 32 10.70.50.20.1 0 簡 諧 強(qiáng) 迫 振 動 相 頻 特 性 1 n 2n2tan 1 ( ) 簡 諧 強(qiáng) 迫 振 動 全 解 簡 諧 強(qiáng) 迫 振 動 全 解 振 動 計 01234 675 0 1 2A B Cy0/a0 / n 位 移 測 量 計擾 動 頻 率 大

20、于 儀 器 的 固 有 頻率 （ B點 ） ， 記 錄 的 振 幅 逐漸 接 近 于 擾 動 頻 率 的 振 幅儀 器 的 固 有 頻 率 應(yīng) 該 比 要 記錄 測 量 的 頻 率 低 2倍當(dāng) 振 動 包 含 高 階 頻 率 時 ， 不影 響 位 移 振 動 計 的 測 量 簡 諧 強(qiáng) 迫 振 動 振 動 加 速 度 計 01234 675 0 1 2A B Cy0/a0 / n 20 20 /1 /n nya 200 2nay 振 動 加 速 度 計 的 固 有 頻率 應(yīng) 該 是 所 記 錄 測 量 的最 高 頻 率 的 2倍 以 上 簡 諧 強(qiáng) 迫 振 動 振 動 加 速 度 計 振 幅r

21、 0/a /n0 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.0000.51.01.52.0 c/cc=0 拋 物 線c/cc=0.5c/cc=0.7為 了 避 免 高 階 諧 振 共 振 影 響 振 動 加 速 度 計 工 作 ，必 須 在 振 動 加 速 度 計 中 加 入 阻 尼0.5和 0.7臨 界 阻 尼 比 無阻 尼 曲 線 更 接 近 理 想 加速 度 計 曲 線 簡 諧 強(qiáng) 迫 振 動 振 動 加 速 度 計 -相 位 1 2 300306090 180 / n c/cc=0c/cc=0.125c/cc=0.20c/cc=0.50c/cc=1120

22、150 當(dāng) 阻 尼 在 0.5-0.7臨 界阻 尼 之 間 時 ， 相 位 差特 性 曲 線 很 接 近 低 于共 振 區(qū) 域 的 對 角 線 ：相 位 差 近 似 正 比 于 頻率 ， 記 錄 的 波 的 合 成與 實 際 波 相 同 。2 n 簡 諧 強(qiáng) 迫 振 動 振 動 的 隔 離 原 理0sinP t 0sinP tk通 過 彈 簧 傳 給 下層 結(jié) 構(gòu) 的 力 ？ 012345-1 2-3-4 1x0/xst A BC/n 0 0 00 0/ stx x kxx P k P 彈 簧 力 傳 遞 力 可 傳 性外 力 外 力 可傳性 簡 諧 強(qiáng) 迫 振 動 振 動 的 隔 離 原 理

23、 : 阻 尼 /n隔振系數(shù) 102 0 1 2 30.25 0.50.5 c/cc=0l/n1.41區(qū) 域 中 ， 阻 尼 使 隔 振系 數(shù) 減 小 (但 仍 然 比 1大 )l阻 尼 的 存 在 使 隔 振 系 數(shù)更 壞 ？ 2l阻 尼 的 存 在 可 以 有 效 防止 共 振l阻 尼 的 不 利 效 應(yīng) 可 以 很容 易 通 過 使 彈 簧 變 得 更 軟來 彌 補(bǔ) 非 周 期 強(qiáng) 迫 振 動 脈 沖 力 t = 時 的 單 位 脈 沖 力重 要 性 質(zhì) ： F(t)在 t = 連 續(xù) ， 則 有 ( ) 0( )d 1t tt t ( ) ( )d ( )F t t t F 非 周 期

24、強(qiáng) 迫 振 動 系 統(tǒng) 的 單 位 脈 沖 響 應(yīng) 條 件 ： t=0以 前 系 統(tǒng) 靜 止 ， t=0時 刻 受 到 一 個 單 位 脈 沖 力 作 用 解 為 單 位 脈 沖 響 應(yīng) ( )(0 ) 0, (0 ) 0mx cx kx tx x 1( ) sin 0 ni t ddh t e t tm h(t) = 0 t0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8x 10-3 非 周 期 強(qiáng) 迫 振 動 卷 積 極 分把 任 意 激 勵 F(t)看 成 一 系 列 脈 沖 函 數(shù) 的 疊 加 0( ) ( ) ( )dtx t ht F 定

25、解 問 題 0 0( )(0) , (0)mx cx kx F tx x x x 解 0 000( ) e ( cos sin )( ) ( )dnt nd ddt x xx t x t th t F 多 自 由 度 系 統(tǒng) 多 自 由 度 系 統(tǒng) 振 動 方 程 固 有 振 動 動 力 響 應(yīng) 分 析 多 自 由 度 系 統(tǒng) 振 動 方 程 例 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 12 2 2 1 2 3 2 2 1 2 3 2 2( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )mx c c x c x k k x k x f tm x c x c c x k x k k x f t

26、 多 自 由 度 系 統(tǒng) 振 動 方 程 x =x1， x2T T1 2 , x x x T1 2 , x x x1 00 2m m M 1 2 22 2 3c c cc c c C1 2 22 2 3k k kk k k K f(t) =f1(t)， f2(t)T ( )t Mx Cx Kx f 多 自 由 度 系 統(tǒng) 振 動 方 程 質(zhì) 量 矩 陣 ， 阻 尼 矩 陣 ， 剛 度 矩 陣 的 性 質(zhì)對 稱 性正 定 性耦 合 慣 性 耦 合阻 尼 耦 合彈 性 耦 合耦 合 的 消 除 0 0 0T Tx Mx x Mx x 0 0 0T Tx Cx x Cx x 0 0 0T Tx Kx

27、 x Kx x 固 有 振 動 2 反 向 運(yùn) 動 例 ： 對 稱 系 統(tǒng) ， 特 殊 初 始 條 件 下 的 振 動1 同 向 運(yùn) 動x1(0)= x2(0)= x0， 1 2 0(0) (0)x x x x 1(0)= x2(0)= x01 2 0(0) (0)x x x 1 km 12 2k km 固 有 振 動 固 有 振 動 3 任 意 初 始 條 件 分 解 為 兩 個 初 始 條 件1 10 2 20 1 10 2 20(0) , (0) , (0) , (0)x x x x x x x x 10 20 10 201 2 1 2(0) (0) , (0) (0)2 2x x x

28、xx x x x 10 20 10 20 1 2 1 2(0) (0) , (0) (0)2 2x x x xx x x x 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x 10-3 固 有 振 動 數(shù) 學(xué) 提 法 方 程 0 Mx Kx特 征 值 問 題頻 率 方 程 K = 2Mu|kij2mij|=0解 為 固 有 頻 率 12， ， n振 型 1 ， 2 ， ， n固 有 頻 率 矩 陣 =diag(1， 2， ， n)振 型 矩 陣 = 1， 2， ， nK = K1 ， K2 ， ， Kn= 12 1 ， 22

29、2 ， ， n2n 固 有 振 動 振 型 的 正 交 性 當(dāng) r s時 ， 如 果 rs， 則 有 00Ts rTs rKM 可 證 ： 振 型 之 間 線 性 無 關(guān)可 定 義 以 剛 度 矩 陣 和 質(zhì) 量 矩 陣 為 權(quán) 的 內(nèi) 積即 ： 振 型 之 間 彼 此 以 剛 度 矩 陣 和 質(zhì) 量 矩 陣 為 權(quán) 正 交 K=xTKy, M=xTMy 當(dāng) y=x時 K=xTKx, M=xTMx 固 有 振 動 振 型 正 交 性 的 物 理 意 義 如 果 x= arr + ass 則 xTKx= ar2rTKr + as2sTKsr r s sx b b 2 21 1 12 2 2T T

30、 Tr r r s s sx Mx b M b M 固 有 振 動 振 型 歸 一 化 1 令 1Tr rM 2Tr r rK 2 令 r的 某 一 分 量 為 1。 比 如 取 r 的 分 量 中 絕 對 值 最大 的 分 量 為 1， 2Tr r r r rK M KTr r rM M 固 有 振 動 振 型 坐 標(biāo) 的 解 耦 性 阻 尼 矩 陣 的 處 理 T 1 2T 1 2diag( , , , )diag( , , , ) dn dnK K KM M M K KM MT d C C Rayleigh阻 尼 C = M +K 1 1 MC K KC M1 1 KM C CM K1

31、1 CK M MK C Fawzy證 明 C可 對 角 化 應(yīng) 滿 足 下 述 條 件 之 一 固 有 振 動 方 程 2( ) 0 M C K 特 征 方 程 0 Mx Cx Kx 令 q= et2 0 M C Kn對 共 軛 復(fù) 根 i 1,2, ,i r r drr r dr= + r n= 2| | 1,2, ,2r r dr + r n 動 力 響 應(yīng) 分 析 物 理 坐 標(biāo) 下 的 方 程 ( )t Mx Cx Kx fx=y， 且 兩 邊 左 乘 T ， 得 到 振 型 坐 標(biāo) 下 的 方 程( )d d d t M y C y K y q 1 1 1 1 1 1 12 2 2

32、2 2 2 2( )( )( )n n n n n n nM y Cy K y q tM y C y K y q tM y C y K y q t 寫 出 分 量 形 式 動 力 響 應(yīng) 分 析 初 始 條 件 的 處 理 0 0(0) (0) x x y y 兩 邊 左 乘 TM同 樣 0 0(0) (0) x x y y 0 1 2 0(0) (0) diag( , , , )nm m m Mx Mx M y y 0 01 21 1 1diag( , , , )nm m my Mx 0 01 21 1 1diag( , , , )nm m m y Mx 動 力 響 應(yīng) 分 析 展 開 定

33、理 1 1 2 2 n ny y y x y 彈 性 力 位 移 1 1 2 2( )s n ny y y f Kx K y= K K K2 2 2 1 1 1 2 2 2( )n n ny y y = M M M 復(fù) 模 態(tài) 分 析 方 程 ( ) Mx Cx Kx f t 引 入 輔 助 方 程 0 Mx Mx 令 ( ) xq t x ( )( ) 0 f tp t0 C MA M 00 KB M( ) Aq Bq p t狀 態(tài) 空 間 方 程 復(fù) 模 態(tài) 分 析 令 q= et( ) 0 A B 0 A B特 征 方 程 n對 共 軛 復(fù) 根 i 1,2, ,i r r drr r d

34、r= + r n= 2| | 1,2, ,2r r dr + r n 復(fù) 模 態(tài) 分 析 由 ( ) 0r r A B得 到 n對 2n維 共 軛 向 量 (特 征 向 量 ) r r 并 有 1,2, ,r rr r r r r r r n 稱 r為 第 r階 模 態(tài) 向 量 復(fù) 模 態(tài) 分 析 令 1 2 , , , n 則 這 里 稱 ： 為 復(fù) 模 態(tài) 矩 陣 1 2 1 2 , , , , , , , n n 1 2 1 2diag( , , , ) diag( , , , )n n 為 特 征 向 量 矩 陣 為 頻 率 矩 陣 復(fù) 模 態(tài) 分 析 復(fù) 特 征 向 量 的 正 交

35、性T 0r s r r sa r s H 0r s r r sa r s r， s=1， 2， ,nT 0r s r r sb r s H 0r s r r sb r s r rr rr rb ba a 復(fù) 模 態(tài) 分 析 上 面 公 式 展 開 得T 0( ) r s r s r r sa r s M Cr， s=1， 2， ,n T 0( )r s k s r r sb r s K H 0( ) r s r s r r sa r s M CH 0( )r s k s r r sb r s K 復(fù) 模 態(tài) 分 析 1 2 1 2diag , , , , , , , n na a a a a

36、aA 分 塊 有 1 2(2 ) diag , , , na a a C H 1 2(2 ) diag , , , na a a C H(2Re ) 0 C 復(fù) 模 態(tài) 分 析 分 塊 有 1 2 1 2diag , , , , , , , n nb b b b b b 2 1 2( ) diag , , , nb b b K H( ) 0 K H 2 1 2( ) diag , , , nb b b K 復(fù) 模 態(tài) 分 析 復(fù) 模 態(tài) 質(zhì) 量 Hr r rm 復(fù) 模 態(tài) 參 數(shù) Hrk r r復(fù) 模 態(tài) 剛 度 Hrc r rC r=1， 2， ,n復(fù) 模 態(tài) 阻 尼并 有 2 Re 0 r

37、 r rm c 0r r r rk m r=1， 2， ,n 復(fù) 模 態(tài) 分 析 復(fù) 模 態(tài) 阻 尼 衰 減 系 數(shù) Rerr r rrc2m | |rr r rrkm 復(fù) 模 態(tài) 固 有 頻 率 2 r rr rr rc =mk r=1， 2， ,n復(fù) 模 態(tài) 阻 尼 比并 有復(fù) 模 態(tài) 阻 尼 固 有 頻 率 2 2 21rd r r r r 22i i 1i i 1r r dr r r r rr r dr r r r r= + = 復(fù) 模 態(tài) 分 析( ) Aq Bq p t 物 理 坐 標(biāo) 下 的 方 程 q=y， 且 兩 邊 左 乘 T ， 得 到 復(fù) 特 征 向 量 坐 標(biāo) 下 的

38、 方 程1 2 1 2 1 2 1 2diag( , , , , , , , ) diag( , , , , , , , ) ( )n n n na a a a a a b b b b b t y y wT T T(0) (0), (0) q x x初 始 條 件 1 2 0(0)(0) =diag( , , , )(0) na a a zy Aqz 復(fù) 模 態(tài) 分 析0 Aq Bq 物 理 坐 標(biāo) 下 的 自 由 振 動 解 特 征 向 量 坐 標(biāo) 下 的 解 為 1 2 1 2 0diag(e ,e , ,e ,e ,e , ,e )n nt tt t t t y y由 q=y中 取 出

39、前 n項 ， 得 1 2 1 2diag(e ,e , ,e ) (0) diag(e ,e , ,e ) (0)n nt tt t t t x z z 1 (0)e (0)e r rn t tr r r rr z z 復(fù) 模 態(tài) 分 析 如 果 系 統(tǒng) 以 某 階 阻 尼 固 有 頻 率 振 動 時 ， 有 其 中 第 s個 坐 標(biāo) 的 運(yùn) 動 為 設(shè) (0)e (0)er rt tr r r r rz z x (0)e (0)er rt tsr sr r sr rx z z i ie (0) | (0)|e sr rsr sr r r=| | z z 則 2| (0) e cos( + )

40、rtsr sr r dr sr rx z | t+ 復(fù) 模 態(tài) 分 析 一 般 粘 性 阻 尼 系 統(tǒng) 以 r階 主 振 動 做 自 由 振 動 時 ，每 個 物 理 坐 標(biāo) 的 初 相 位 (sr r)不 僅 與 該 階 主 振 動 有關(guān) ， 還 與 物 理 坐 標(biāo) s 有 關(guān) ， 即 各 物 理 坐 標(biāo) 初 相 位 不同 。 因 而 ， 每 個 物 理 坐 標(biāo) 振 動 時 并 不 同 時 達(dá) 到 平 衡位 置 和 最 大 位 置 ， 即 主 振 型 節(jié) 點 （ 線 ） 是 變 化 的 ，即 不 具 備 模 態(tài) 保 持 性 ， 主 振 型 不 再 是 駐 波 形 式 ， 而是 行 波 形 式

41、 。 這 是 復(fù) 模 態(tài) 系 統(tǒng) 的 特 點 復(fù) 模 態(tài) 分 析 簡 支 梁 二 階 振 型 半 個 周 期 內(nèi) 的 變 化（ a） 實 模 態(tài) 系 統(tǒng) ； （ b） 復(fù) 模 態(tài) 系 統(tǒng) 連 續(xù) 體 振 動 桿 的 縱 向 振 動 軸 的 扭 轉(zhuǎn) 振 動 梁 的 彎 曲 振 動 桿 的 縱 向 振 動 假 定 ： 細(xì) 長 等 截 面 桿 , 振 動 時 橫 截 面 仍 保 持 為 平 面 ， 橫 截面 上 的 質(zhì) 點 只 作 沿 桿 件 縱 向 的 振 動 ， 橫 向 變 形 忽 略 不 計 。則 同 一 橫 截 面 上 各 點 在 x方 向 作 相 等 的 位 移 。參 數(shù) ： 桿 長 l，

42、 截 面 積 S， 材 料 密 度 ， 彈 性 模 量 E 桿 的 縱 向 振 動 桿 的 縱 向 振 動 22222 xuatu 微 元 分 析 ： mAEa 2 桿 的 縱 向 振 動 桿 的 縱 向 振 動 桿 的 縱 向 振 動 解 ： 設(shè) u(x,t)=X(x)T(x) )()()()( 2 xXtTatTxX 即 )( )()( )( 2 xX xXatT tT 0)()( 2 tTtT 0)()( 22 xXaxX 桿 的 縱 向 振 動 )()( tiAetT 解 為 xaCxaCxX cossin)( 21 時 間 域 ， 初 值 問 題空 間 域 ， 邊 值 問 題固 支

43、邊 條 件x=0時 ， u(0,t)=X(0)T(x)=0， 即 X(0)=0 x=l時 ， u(l,t)=X(0)T(l)=0， 即 X(l)=0 自 由 邊 條 件x=0時 , ， 即 0)()0(),0( tTdxdXxtu 0)0( dxdXx=l時 , ， 即 0)()(),( tTdxldXxtlu 0)( dxldX 桿 的 縱 向 振 動0sin la 例 ： 如 果 兩 端 固 支 ， 有 xlx sin1l xlx 2sin2x兩 端 固 支 桿 縱 向 振 動 特 征 方 程 （ 頻 率 方 程 ） 這 就 是 兩 端 固 支 桿 縱 向 振 動 的 各 階 頻 率 ，

44、相 應(yīng) 的 各 階固 有 振 型 是 ： nla （ n=1,2,） mEAlnalnn （ n=1,2,） C2=0 0sin1 laC 顯 然 ， C1 0， 故 有 ： xlnxaxX nn sinsin)( 軸 的 扭 轉(zhuǎn) 振 動 方 程 dxMk 22)( tdxxI dxxMkMk 彈 性 軸 軸 向 坐 標(biāo) x， 扭 轉(zhuǎn) 變形 (x,t)， 單 位 長 度 對 x軸 的轉(zhuǎn) 動 慣 量 I(x)， 截 面 抗 扭 剛 度為 GJ(x)。 0)()( 22 txIxxGJx 當(dāng) 轉(zhuǎn) 動 慣 量 I(x)， 截 面 抗 扭 剛 度 GJ(x)與 x無 關(guān) 時0 2222 tIxGJ 2

45、222222 xxIGJt 梁 的 彎 曲 振 動02244 tymxyEI 方 程用 分 離 變 量 法 求 解 ， 令 )()(),( tTxYtxy 02244 tYmYxYEIT令 ， 則 上 式 為 ： TdtTdYdxYdamEI IV 22442 , TTYYa IV 2 22 TTYYa IV 梁 的 彎 曲 振 動)( tiAeT 方 程 02 TT 022)4( YaY xaCxaCxachCxashCxY cossin)( 4321 邊 界 條 件簡 支 000 22 dxYdYx ，處 ， 00 22 dxYdYlx ，處 ， 梁 的 彎 曲 振 動 固 支自 由 00

46、0 dxdYYx ，處 ， 000 3322 dxYddxYdx ，處 ， 00 dxdYYlx ，處 ， 00 3322 dxYddxYdlx ，處 ， 梁 的 彎 曲 振 動 固 支自 由 000 dxdYYx ，處 ， 000 3322 dxYddxYdx ，處 ， 00 dxdYYlx ，處 ， 00 3322 dxYddxYdlx ，處 ， 隨 機(jī) 振 動 隨 機(jī) 過 程 相 關(guān) 函 數(shù) 功 率 譜 函 數(shù) 激 勵 響 應(yīng) 關(guān) 系 隨 機(jī) 過 程 樣 本 函 數(shù) xr(t) t(， ) 隨 機(jī) 函 數(shù) txtX k狀 態(tài) 1tX數(shù) 字 特 征 均 值 x=EX(t) 均 方 值 x=

47、EX2(t) 方 差 E(X (t) x )2 相 關(guān) 函 數(shù) 相 關(guān) 函 數(shù) 自 相 關(guān) 函 數(shù) 平 穩(wěn) 隨 機(jī) 過 程 統(tǒng) 計 性 質(zhì) 、 趨 勢 與 時 間 無 關(guān) 1 2 1 2,xR t t E X t X t 互 相 關(guān) 函 數(shù) 1 2 1 2,xyR t t E X t Y t 均 值 、 均 方 值 和 方 差 為 常 數(shù) 相 關(guān) 函 數(shù) 是 時 差 的 函 數(shù) xR E X t X t xyR E X t Y t 各 態(tài) 遍 歷 過 程 相 關(guān) 函 數(shù) 自 相 關(guān) 函 數(shù) 性 質(zhì) 1 偶 函 數(shù) 2 周 期 隨 機(jī) 過 程 的 自 相 關(guān) 函 數(shù) 仍 是 周 期 函 數(shù)( )

48、 ( )x xR R x xX t X t R R T( ) ( ) ( ) ( ) 3 20( )x xR 2 2 0( ) ( )x x x xR R 45 如 果 不 是 周 期 隨 機(jī) 過 程 2lim ( )x xR 相 關(guān) 函 數(shù) 互 相 關(guān) 函 數(shù) 性 質(zhì) 1234 X(t)、 Y(t)相 互 獨 立( ) ( )xy yxR R ( )x y x y xy x y x yR 0 0( ) ( ) ( )xy x yR R R ( )xy x yR 功 率 譜 函 數(shù) 自 譜 12 ix x ix xS R e dR S e d 2 , 0, 00, 0 xx xSG S 性 質(zhì)

49、 1 自 譜 是 非 負(fù) 偶 函 數(shù) 0( )( ) ( )xx xSS S 2 2 10 2x x xR S d 3 導(dǎo) 數(shù) 過 程 的 自 譜 2x xS S 單 位 ： （ 物 理 單 位 ） 2/（ 頻 率 單 位 ） 。 功 率 譜 函 數(shù) 互 譜 性 質(zhì) 1 互 譜 一 般 是 復(fù) 函 數(shù) 23 |Sxy()|2 Sx() Sy() i( ) ( )e dxy xyS R i( ) ( )e dyx yxS R i1( ) ( )e d2xy xyR S i1( ) ( )e d2yx yxR S ( ) ( ) ( )xy xy yxS S S 4 如 果 X(t)和 Y(t)

50、是 相 互 獨 立 且 均 值 為 零 的 隨 機(jī) 過 程 ，則 必 有 Sxy() = 0單 位 ： (X(t)的 單 位 )(Y(t)的 單 位 )/(頻 率 單 位 ) 激 勵 響 應(yīng) 關(guān) 系 線 性 振 動 系 統(tǒng) 在 單 一 隨 機(jī) 激 勵 下 的 響 應(yīng) 1 響 應(yīng) 的 均 值 x=H(0) f2 響 應(yīng) 的 自 譜 和 均 方 值 Sx() =|H()|2 3 激 勵 與 響 應(yīng) 的 互 譜 Sfx() = H() Sf() 激 勵 f(t)， 響 應(yīng) x(t)， 系 統(tǒng) 頻 響 函 數(shù) H()2 21 | ( )| ( )d2x fH S 激 勵 響 應(yīng) 關(guān) 系 例 ： 單 自

51、 由 度 系 統(tǒng) 在 白 噪 聲 激 勵 下 響 應(yīng) 的 自 譜 均 方 值 解 ： 白 噪 聲 激 勵 的 自 譜 Sf() =021( ) iH k m c 02 2 2( ) ( ) ( )x SS k m c 2 0 02 2 20 0 n21 ( )d2 d2 ( ) ( )2 4x xSS Sk m cS Skc k 激 勵 響 應(yīng) 關(guān) 系 例 ： 單 自 由 度 系 統(tǒng) 基 礎(chǔ) 以 白 噪 聲 運(yùn) 動 時 響 應(yīng) 的 自 譜 和 均 方 值 解 ： 白 噪 聲 激 勵 的 自 譜 Sy() =02 2 2 02 2 2( )( ) ( ) ( )x k c SS k m c 2 i( ) ik cH k m c 2 2 2 20 02 2 22 2 20 n 01 ( )d2 ( ) d2 ( ) ( )( ) 4 12 4x xSS k c Sk m cS Skc mkkcm