信號(hào)與系統(tǒng)第五章(陳后金)2

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1、 |HLP(j)| cc |HHP(j)| cc |HBP(j)| 1 212 |HBS(j)| 1 212 濾 波 器 是 指 能 使 信 號(hào) 的 一 部 分 頻 率 通 過 ， 而 使 另 一 部分 頻 率 通 過 很 少 的 系 統(tǒng) 。 理 想 低 通 理 想 高 通 理 想 帶 通 理 想 帶 阻 dcd j2ccj e)(|0 |e)j( tt pH |H(j)| 1 cc 0 截 止 角 頻 率幅 度 響 應(yīng) |H(j)|在 通 帶 0c 恒 為 1， 在 通 帶 之 外 為 0。相 位 響 應(yīng) ()在 通 帶 內(nèi) 與 成 線 性 關(guān) 系 tHth tde)j(21)( j ttt

2、 dee21 jj dcc )(Sa)( dcc ttth 1) h(t)的 波 形 是 一 個(gè) 抽 樣 函 數(shù) ， 不 同 于 輸 入 信號(hào) d(t)的 波 形 ， 有 失 真 。 原 因 ： 理 想 低 通 濾 波 器 是 一 個(gè) 帶 限 系 統(tǒng) ， 而沖 激 信 號(hào) d(t)的 頻 帶 寬 度 為 無 窮 大 。 減 小 失 真 方 法 ： 增 加 理 想 低 通 截 頻 c。 h(t)的 主 瓣寬 度 為 2p/c， c越 小 ， 失 真 越 大 。 當(dāng) c 時(shí) ， 理 想低 通 變 為 無 失 真 傳 輸 系 統(tǒng) ， h(t)也 變 為 沖 激 信 號(hào) 。 2) h(t)主 峰 出

3、現(xiàn) 時(shí) 刻 t = td 比 輸 入 信 號(hào) d (t) 作 用時(shí) 刻 t = 0延 遲 了 一 段 時(shí) 間 td 。 td是 理 想 低 通濾 波 器 相 位 響 應(yīng) 的 斜 率 。3) h(t)在 t0 的 區(qū) 間 也 存 在 輸 出 ， 可 見 理 想 低通 濾 波 器 是 一 個(gè) 非 因 果 系 統(tǒng) ， 因 而 它 是 一 個(gè)物 理 不 可 實(shí) 現(xiàn) 的 系 統(tǒng) 。 t hthtg d)()()( )1( d)(Sa dcc tt )d(Sa121)( )(0 dc tttg 1) 階 躍 響 應(yīng) g(t)比 輸 入 階 躍 信 號(hào) u(t)延 遲 td 。td是 理 想 低 通 濾 波

4、 器 相 位 響 應(yīng) 的 斜 率 。2) 階 躍 響 應(yīng) 的 建 立 需 要 一 段 時(shí) 間 。 階 躍 響 應(yīng) 從 最 小 值 上 升 到 最 大 值 所 需 時(shí) 間稱 為 階 躍 響 應(yīng) 的 上 升 時(shí) 間 tr。tr =2p/c， 即 上 升 時(shí) 間 tr與 理 想 低 通 截 頻 c成 反 比 。c越 大 ， 上 升 時(shí) 間 就 越 短 ， 當(dāng) c 時(shí) ， tr 0。 3) 存 在 Gibbs現(xiàn) 象 即 在 間 斷 點(diǎn) 的 前 后 出 現(xiàn) 了 振 蕩 ， 其 振 蕩的 最 大 峰 值 約 為 階 躍 突 變 值 的 9%左 右 ，且 不 隨 濾 波 器 帶 寬 的 增 加 而 減 小

5、。 1. 輸 出 響 應(yīng) 的 延 遲 時(shí) 間 取 決 于 理 想 低 通 濾 波 器 的相 位 響 應(yīng) 的 斜 率 。2. 輸 入 信 號(hào) 在 通 過 理 想 低 通 濾 波 器 后 ， 輸 出 響 應(yīng)在 輸 入 信 號(hào) 不 連 續(xù) 點(diǎn) 處 產(chǎn) 生 逐 漸 上 升 或 下 降 的波 形 ， 上 升 或 下 降 的 時(shí) 間 與 理 想 低 通 濾 波 器 的通 頻 帶 寬 度 成 反 比 。3. 理 想 低 通 濾 波 器 的 通 帶 寬 度 與 輸 入 信 號(hào) 的 帶 寬不 相 匹 配 時(shí) ， 輸 出 就 會(huì) 失 真 。 系 統(tǒng) 的 通 帶 寬 度越 大 于 信 號(hào) 的 帶 寬 ， 則 失 真

6、 越 小 ， 反 之 ， 則 失真 越 大 。 例 2 求 帶 通 信 號(hào) x(t)=Sa(t)cos2t， t ， 通 過線 性 相 位 理 想 低 通 濾 波 器 的 響 應(yīng) 。 dc j2 )()j( tepH 解 ： 因 為 )()(Sa 2 pt F利 用 Fourier變 換 的 頻 移 特 性 ， 可 得 )2()2(2)j( 22 ppX )2()2(2e)()j()j()j( 22j2 dc pppXHY t 例 2 求 帶 通 信 號(hào) x(t)=Sa(t)cos2t， t ， 通 過線 性 相 位 理 想 低 通 濾 波 器 的 響 應(yīng) 。 )2()2(2e)()j()j(

7、)j( 22j2 dc pppXHY t )2()2(2e)j( 22j d ppY ty(t)= x(ttd) = Sa(ttd)cos2( ttd) ， t 當(dāng) c 1時(shí) ， 輸 入 信 號(hào) 的 所 有 頻 率 分 量 都 不 能 通 過 系 統(tǒng) ， 即0)j( Y y(t)=0， t 當(dāng) c 3時(shí) ， 輸 入 信 號(hào) 的 所 有 頻 率 分 量 都 能 通 過 系 統(tǒng) ， 即dc j2 e)()j( tpH 例 2 求 帶 通 信 號(hào) x(t)=Sa(t)cos2t， t ， 通 過線 性 相 位 理 想 低 通 濾 波 器 的 響 應(yīng) 。3) 當(dāng) 1 c 3時(shí) ， dcc jc1c1

8、e)2 1()2 1(2)j( tppY 由 抽 樣 信 號(hào) 頻 譜 及 Fourier變 換 的 時(shí) 域 和 頻 域 位 移 特 性 可 得 )(2 1cos)(2 1Sa2 1)( dcdcc ttttty dc j2 e)()j( tpH )2()2(2e)()j()j()j( 22j2 dc pppXHY t cc Y(j)只 有 c范 圍 內(nèi) 的 頻 率 分 量 能 通 過 系 統(tǒng) ， 故 nnnn mmmm aaa bbbbXYH j)1(j1j1 j)1(j1j10jjzsj eee1 eee)e( )e()e( 1 1 11 nkyankyakyaky nn1 1 110 mk

9、xbmkxbkxbkxb mm 若 n階 離 散 LTI系 統(tǒng) 的 差 分 方 程 為 )e( )e()e( jjzsj XYH 幅 度 響 應(yīng)(magnitude response) 相 位 響 應(yīng)(phase response) d )(d)( 群 延 時(shí) ( group delay ) DTFTDTFT DTFT)e( )e()e( jjj khkkhXYH zs d )(jjj e|)e(|)e( HH e )(j nhnkn e j khky k ee jj nhnnk )e(e jj Hk H(e j)e jk H(e j)e jk d)ee(21 jj kXkx de)e(21

10、jjzs kTXkxTky de)e()e(21 jjj kHX ee5.0)cos( )(j)(j kkk e)e(e)e(5.0 )(jj)(jj kk HHky余 弦 序 列 )(cos)e( j kHky當(dāng) hk為 實(shí) 序 列 時(shí) )e()e( jj HH因 此 有 e)e(Re )j(j kHky eej5.0)sin( )(j)(j kkk e)e(e)e(j5.0 )(jj)(jj kk HHky信 號(hào) 的 延 遲 為 )()( p 正 弦 序 列 )(sin)e( j kHky當(dāng) hk為 實(shí) 序 列 時(shí) mkNNm mXNkx p 2j10 e1 e1 2j1 0 mkNNm

11、TmXNkxTky p mkNmNNm HmXN pp 2j2j10 e)e(1 由 于 存 在 )e(ee 2j2j系統(tǒng)LTI2j mNkmNkmN H 所 以 有 例 已 知 一 離 散 LTI系 統(tǒng) 的 hk=(0.5)kuk， 輸入 xk=cos(0.5pk)， (k)， 求 系 統(tǒng) 的 穩(wěn)態(tài) 響 應(yīng) 。 jj e5.01 1DTFT)e( khH j5.01 1)e( 5.0j H 4636.0je8944.0 )5.0(5.0cos)e( 5.0j kHky )4636.05.0cos(8944.0 k 線 性 相 位 系 統(tǒng) ： () k0線 性 相 位 系 統(tǒng) 的 群 延 遲

12、： ， 通 過 線 性 相 位 系 統(tǒng) 的 響 應(yīng) 為 ()=k0 )(jjj e)e()e( HH de)e(21 jj kXkx de)e()e(21 jj j kHXky de|)e(|)e(21 )(jj j 0kkHX 線 性 相 位 系 統(tǒng) ： () k0線 性 相 位 系 統(tǒng) 的 群 延 遲 ：kNm mmXNkx j10 e1 ， 通 過 線 性 相 位 系 統(tǒng) 的 響 應(yīng) 為)(jj1 0 0e)e(1 kkNm mmHmXNky ()=k0 )(jjj e)e()e( HH (a) 理 想 低 通 (b) 理 想 高 通(c) 理 想 帶 通 (d) 理 想 帶 阻 例 ：

13、 確 定 理 想 低 通 濾 波 器 的 單 位 脈 沖 響 應(yīng) hLPk。 de)e(21 jjLPLP kHkh de21 jcc k kk kk jeje21 cc jj )(Sa cc k -100 -50 0 50 100-0.1-0.0500.050.10.150.2 0.25 理 想 的 數(shù) 字 濾 波 器 都 是 例 已 知 一 LTI系 統(tǒng) 的 H(e j)為 其 它 0 23162e)e( 3jj H 16 kkx d輸 入 為 ,求 系 統(tǒng) 的 輸 出 。 150 162j16 e161 l klkd e)e(e)e()e(161 15162j15162j162j162j0j kk HHHky e)e(e)e()e(161 162j162j162j162j0j kk HHH p)3(8cos21161 k