信號(hào)與系統(tǒng)課件(鄭君里版)第六章

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1、第 六 章 離 散 信 號(hào) 與 系 統(tǒng) 時(shí) 域 分 析 離 散 時(shí) 間 信 號(hào) 的 定 義 以 及 典 型 的 離 散 信 號(hào) ； 差 分 方 程 的 建 立 與 經(jīng) 典 解 法 ； 離 散 系 統(tǒng) 的 單 位 樣 值 響 應(yīng) ； 零 輸 入 響 應(yīng) 和 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) 的 概 念 ； 如 何 求 零 輸 入 響 應(yīng) ； 如 何 利 用 卷 積 的 方 法 求 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) 6.1 離 散 信 號(hào)一 、 離 散 時(shí) 間 信 號(hào) 1、 定 義 ： 如 果 信 號(hào) 僅 在 一 些 離 散 的 瞬 間 具 有 確 定 的 數(shù) 值 ，則 稱 之 為 離 散 時(shí) 間 信 號(hào) 。 一 般 用 f

2、(kT)表 示 ， 其 中 k=0, 1, 2,； T為 離散 間 隔 。 把 這 種 按 一 定 規(guī) 則 有 秩 序 排 列 的 一 系 列 數(shù) 值 稱 為序 列 ， 簡 記 為 f(k)。 常 用 序 列 f(k)表 示 。 也 可 以 用 數(shù) 據(jù) 表 格 形 式 給 出 ， 或 以 圖 形 方 式 表 。 Eg: 1110)( kkkkf k -1 0 1 2 3 4f(k) 0 1 2 3 4 5 k f(k) 1 2 3 4 5 6 -1 0 1 2 3 4 5 (a) (b)圖 7 - 1 2、 離 散 時(shí) 間 信 號(hào) 的 時(shí) 域 運(yùn) 算（ 1） 相 加 ： f(k)=f1(k)+

3、f2(k) （ 2） 相 乘 ： f(k)=f1(k)f2(k) （ 3） 數(shù) 乘 ：（ 4） 累 加 和 ： 3、 離 散 時(shí) 間 信 號(hào) 的 時(shí) 域 變 換 （ 1） 移 位 m為大于零的整數(shù)。 kf(k) 1.5 0.5-1 0 1 2 3 4 50.5 1(a) k y(k)=f(k-2)1.5 0.5 1 2 3 4 5110.5-1 0 (b) k y(k)=f(k+2)1.5 0.5 -3 -2 -1 0 1 2110.5-5 -4 (c)圖 7 - 3 （ 2） 折 疊 （ 3） 倒 相 （ 4） 展 縮 需 要 注 意 的 是 ， 對(duì) f(k)進(jìn) 行 展 縮 變 換 后 所

4、得 序 列y(k)可 能 會(huì) 出 現(xiàn) k為 非 整 數(shù) 情 況 ， 在 此 情 況 下 舍 去 這 些非 整 數(shù) 的 k及 其 值 。 例 6.1.1 ： 若 x(n)的 波 形 如 圖 所 示 ， 求 x(2n) x(n/2)的 波 形 。 還 應(yīng) 指 出 ， 對(duì) 于 離 散 信 號(hào) 壓縮 后 再 展 寬 不 能 恢 復(fù) 原 序 列。 （ 5） 差 分 （ a） f(k)的 后 向 差 分 ， 記 (b) f(k)的 前 向 差 分 ， 記 二 、 常 用 的 離 散 時(shí) 間 信 號(hào) 1. 單 位 序 列 k1 (k)圖 7 - 5-1 0 1)()0()()( kfkkf 性 質(zhì) ： )(

5、)()()( mkmfmkkf )()()()( mkmfmkkf 2. 單 位 階 躍 序 列 k1 U(k) 圖 7 - 6 -1 0 1 2 3 4 單 位 階 躍 序 列 和 單 位 序 列 的 關(guān) 系 3. 單 位 矩 形 序 列 (門 序 列 ) 其他 0 10 1)( NkkGN k1 GN(k) 圖 7 - 7 -1 0 1 2 3 N-1 N4. 單 邊 實(shí) 指 數(shù) 序 列 00 0)( kkakf k (a為實(shí)數(shù)) (7-13) k1 f(k)=akU(k)|a|1 -1 0 1 2 3 4 5 k1 f(k)=akU(k)|a|1 -1 0 1 2 3 4 5(a) (b

6、)圖 7 - 85. 正 弦 序 列 f(k) E k0 1 2 3 4 5圖 7 - 9 Eg:若 離 散 信 號(hào) f(k)滿 足 則 f(k)為 周 期 離 散 時(shí) 間 信 號(hào) ， 其 重 復(fù) 周 期 T=N， 重 復(fù)角 頻 率 為 三 、 離 散 系 統(tǒng) 及 其 數(shù) 學(xué) 描 述1、 線 性 時(shí) 不 變 系 統(tǒng) （ 1） 齊 次 性 、 疊 加 性 和 線 性 當(dāng) 系 統(tǒng) Taf(k)=aTf(k) 則 稱 系 統(tǒng) 滿 足 齊 次 性 。 當(dāng) 系 統(tǒng)則 稱 系 統(tǒng) 滿 足 疊 加 性 當(dāng) 系 統(tǒng) 同 時(shí) 滿 足 齊 次 性 和 疊 加 性 時(shí) ， 則 稱 該 系 統(tǒng) 滿 足線 性 （ 2）

7、 線 性 離 散 時(shí) 間 系 統(tǒng) 若 離 散 時(shí) 間 系 統(tǒng) 的 響 應(yīng) 可 分 解 為 零 輸 入 響 應(yīng) 和 零狀 態(tài) 響 應(yīng) (可 分 解 性 )； 且 零 輸 入 響 應(yīng) 和 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) 分 別 滿 足 齊 次 性 和 疊加 性 (零 輸 入 線 性 、 零 狀 態(tài) 線 性 )， 則 稱 該 系 統(tǒng) 為 線 性離 散 時(shí) 間 系 統(tǒng) 。 （ 3） 時(shí) 變 與 時(shí) 不 變 離 散 時(shí) 間 系 統(tǒng) 若 )()( kfTky （ 4） 因 果 離 散 時(shí) 間 系 統(tǒng) 如 果 系 統(tǒng) 響 應(yīng) 總 是 出 現(xiàn) 在 激 勵(lì) 施 加 之 后 ， 則 該系 統(tǒng) 稱 為 因 果 系 統(tǒng) ， 否

8、則 稱 之 為 非 因 果 系 統(tǒng) 。 例 6.1.2 若 已 知 k 0時(shí) 三 個(gè) 系 統(tǒng) 的 響 應(yīng) 分 別 為 ：(1) y(k)=kf(k)； (2) y(k)=|f(k)|；(3) y(k)=2f(k)+3f(k-1)。試 判 斷 這 三 個(gè) 系 統(tǒng) 各 為 哪 類 系 統(tǒng) 。 解 : (1) 因 激 勵(lì) 與 響 應(yīng) 之 間 滿 足 齊 次 性 和 疊 加 性 ， 即但 激 勵(lì) 與 響 應(yīng) 之 間 不 滿 足 時(shí) 不 變 性 ， 即)()()( kykkfkfT )()()()( kaykfaTkakfkafT )()()()()()( 212121 kykykkfkkfkfkfT

9、)()()()()( mkfmkmkymkkfmkfT 故 該 系 統(tǒng) 為 線 性 時(shí) 變 離 散 時(shí) 間 系 統(tǒng) (2) 該 系 統(tǒng) 激 勵(lì) 與 響 應(yīng) 之 間 不 滿 足 齊 次 性 ，不 滿 足 疊 加 性 。激 勵(lì) 和 響 應(yīng) 之 間 滿 足 時(shí) 不 變 性 ，故 此 系 統(tǒng) 為 非 線 性 時(shí) 不 變 系 統(tǒng) 。 )()()( kaykfTakafT )()()()()()()()( 21212121 kfkfkykykfkfkfkfT )()()( mkfmkfTmky (3) 由 給 出 的 輸 入 輸 出 關(guān) 系 可 知 此 系 統(tǒng) 是 一 個(gè) 線 性 時(shí)不 變 離 散 時(shí) 間

10、 系 統(tǒng) 。 解 :設(shè) 系 統(tǒng) 零 輸 入 響 應(yīng) 為 yx(k)， 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) 為 yf(k)， 則 根據(jù) 線 性 時(shí) 不 變 系 統(tǒng) 的 特 性 ， 響 應(yīng) )()()( kykyky fx kk fx kykfky )3(10)2(12 )(2)(2)( 例 6.1.5 ： 電 阻 梯 形 網(wǎng) 絡(luò)E v0 v1 v2 vNvN-1v0=E,vN=0,試寫出節(jié)點(diǎn)電壓的差分方程。R RRR vN-2 RRRR 解 ： 根 據(jù) KCL， 對(duì) 于 節(jié) 點(diǎn) k,有 ： 121 )1()()()()1( R kukuRkuR kuku 整 理 后 可 得 ： 0)1()()2()1( 21

11、kukuRRku或 ： 0)2k(u)1k(u)RR2()k(u 21 (b) 加 法 器(a) 延 時(shí) 器五 、 離 散 時(shí) 間 系 統(tǒng) 的 模 擬1、 基 本 運(yùn) 算 單 元 xn xn+ynynE1xn xn-1xn xn-1D (c) 數(shù) 乘 器 axn axnaxn axnaxn axn 解 : 根 據(jù) 系 統(tǒng) 差 分 方 程 ， 可 得 10178 19176)( 23 2 EEE EEEH或 ： 321 321 101781 19176)( EEE EEEEH2 、 系 統(tǒng) 模 擬 1/E 19 f(k) 圖 7 - 18 1/E 1/E-8 -17 -10 176 y(k) 6

12、.2 離 散 系 統(tǒng) 時(shí) 域 分 析 經(jīng) 典 法一 、 差 分 方 程 時(shí) 域 經(jīng) 典 求 解 1 齊 次 差 分 方 程 稱 之 為 齊 次 差 分 方 程 )()3(2)2()( kuky kk 例 6.2.2 圖 所 示 離 散 時(shí) 間 系 統(tǒng) 的 模 擬 框 圖 。 當(dāng)f(k)=0, y(1)=1, y(2)=0, y(3)=1, y(5)=1時(shí) ， 求y(k)。 y(k)1/E 1 f(k) 圖 7 - 19 1/E 1/E2 -2 2 41/E -1 nknC(常數(shù))特解形式自由項(xiàng)B（常數(shù)）2 10 1 2 1. k kk kC Cn Cn C n Cn nCe( )j nAe A

13、為復(fù)數(shù)0 1C Cnj ne ( )ne 為實(shí)數(shù)an(a不是特征根) nC 2 10 1 2 1( )r r nr rC C n C n C n C n a an(a是r重特征根)sin ( cos )n n 或1 2cos sinC n C n 2 非 齊 次 差 分 方 程 0,)2(31)2()1(32)( kky kkk 二 、 離 散 時(shí) 間 系 統(tǒng) 的 響 應(yīng) 的 分 解 方 式1、 零 輸 入 響 應(yīng) 和 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) 2、 自 由 響 應(yīng) 和 強(qiáng) 迫 響 應(yīng) 3、 暫 態(tài) 響 應(yīng) 和 穩(wěn) 態(tài) 響 應(yīng) 6.3 離 散 系 統(tǒng) 的 單 位 序 列 響 應(yīng) 對(duì) 于 線 性 時(shí)

14、不 變 離 散 時(shí) 間 系 統(tǒng) ， 若 激 勵(lì) 為 單 位 序 列 (k)時(shí) ， 其 系 統(tǒng) 的 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) h(k)稱 為 單 位 序 列 響 應(yīng) 。 一 、 迭 代 法 ：是 一 種 遞 推 法 ， 一 個(gè) 不 斷 迭 代 過 程 ， 稱 之 為 迭 代 法 0 0)( )()1()( 0 kky kfkyaky對(duì) 于 一 階 系 統(tǒng) )()( kkf )()1()( 0 kkhakh 0)( kh 0k)()( khky 令 )1()()( 0 khakkh )()()( 0 kUakh k 二 、 等 效 初 值 法 當(dāng) k 0時(shí) ， 系 統(tǒng) 等 效 為 一 個(gè) 零 輸 入 系

15、 統(tǒng) 。 求 系 統(tǒng)單 位 序 列 響 應(yīng) 轉(zhuǎn) 化 為 求 系 統(tǒng) 等 效 零 輸 入 響 應(yīng) 。 例 6.3.1 某 離 散 時(shí) 間 系 統(tǒng) 如 圖 所 示 。 求 系 統(tǒng) 單 位序 列 響 應(yīng) 。 1/Ef(k) 圖 7 - 20 1/E1 1/2 y(k) 解 ： 由 圖 可 得 系 統(tǒng) 的 差 分 方 程 為 )()2(21)1()( kfkykyky )()( kkf )()2(21)1()( kkhkhkh 0)( kh 0k由 迭 代 法 可 知 等 效 初 始 值 為 當(dāng) k 1時(shí) ， 有 0212 對(duì) 應(yīng) 的 特 征 方 程 為 KK CCkh 2211)( 單 位 序 列

16、響 應(yīng) 的 形 式 與零 輸 入 響 應(yīng) 形 式 相 同 6.4 卷 積 和一 、 離 散 系 統(tǒng) 的 時(shí) 域 分 解 0 )()()( i ikifkf k f(k) 6 2 1 2 3 4 5 6 7442-1 0 圖 7 - 21 )5(2)4(4)3(6)2(4)1(2)( kkkkkkf 1、 交 換 律 、 結(jié) 合 律 和 分 配 律（ 1） 交 換 律卷 積 和 的 性 質(zhì) ：1 2 1 2 2 1 2 1 mmx n x n x m x n mx m x n m x n x n 1 2 1 22 1 2 1 mmx n x n x m x n mx m x n m x n x

17、n 二 、 卷 積 和 設(shè) 兩 個(gè) 離 散 時(shí) 間 信 號(hào) 為 f1(k)和 f2(k) ， 定 義f1(k)與 f2(k)的 卷 積 和 運(yùn) 算 為 （ 2） 結(jié) 合 律 1 2 3 1 2 3 x n x n x n x n x n x n （ 3） 分 配 律 1 2 3 1 2 1 3 x n x n x n x n x n x n x n 2、 移 位 性 質(zhì) 1 21 1 2 2 1 2 yn x n x nx n n x n n yn n n 若則 3、 其 它 性 質(zhì) 0 0 xn n n xn n xn n xn nm mxn un xmun m xm 4、 卷 積 和 的

18、計(jì) 算 ： my n xmhn m （ 1） 圖 解 法反 褶 、 平 移 、 相 乘 、 求 和 四 個(gè) 步 驟 ： 三 、 離 散 卷 積 和 分 析 對(duì) 于 線 性 時(shí) 不 變 離 散 時(shí) 間 系 統(tǒng) ， 若 激 勵(lì) 為 單 位 序 列 ，單 位 序 列 響 應(yīng) 為 ,則 激 勵(lì) 與 系 統(tǒng) 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) 之 間 有 如 下 關(guān) 系 ： 例 6.4.2 描 述 離 散 時(shí) 間 系 統(tǒng) 的 差 分 方 程 為 已 知 y(-1)=1,求 系 統(tǒng) 全 響 應(yīng) y(k)。 )(05.0)1(9.0)( kUkyky 解 :(1) 求 零 輸 入 響 應(yīng) yx(k)。 1)1( 0)1(9

19、.0)(x xxy kyky kx Cky )9.0()( 得 C=0.9,故 1)9.0()( kx ky(2) 求 單 位 序 列 響 應(yīng) 。 0 0)( )(05.0)1(9.0)( kkh kkhkh 利 用 等 效 初 值 法 ， 可 求 得 )()9.0(05.0)( kUkh k (3) 求 激 勵(lì) 時(shí) 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) 。 )()9.0(05.0)()()()( kUkUkhkfky kf )()9.0(15.0)( 1 kUky kf 全 響 應(yīng) )()()( kykyky fx 零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng))()9.0(15.0)1()9.0()( 11 kUkUky kk （強(qiáng)迫響應(yīng)）穩(wěn)態(tài)響應(yīng)（自由響應(yīng)）暫態(tài)響應(yīng))(5.0)()9.0(5.0)1( 1 kUkUk k