江蘇省南京市玄武高級(jí)中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期最后一卷試題?含解析?

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1、江蘇省南京市玄武高級(jí)中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期最后一卷試題（含解析） 一、填空題 1. 已知全集，集合，若，則等于________. 【答案】或 【解析】 【分析】 首先解一元二次不等式結(jié)合元素是整數(shù)，求得集合M，再根據(jù)題中所給的集合，且，從而確定出的值. 【詳解】由，解得，由，得， ，且， 所以或， 故答案為：或. 【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)集合的問題涉及到的知識(shí)點(diǎn)有一元二次不等式的解法，兩集合的交集，屬于基礎(chǔ)題目. 2. 已知三內(nèi)角、、所對(duì)邊長分別為是、、，設(shè)向量，，若，則角的大小為________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用兩向量平行的充要條件求

2、出三角形的邊與角的關(guān)系，利用正弦定理將角化為邊，再利用余弦定理求出B的余弦，即可求出角． 【詳解】∵向量，，若， ∴， 由正弦定理知：，即， 由余弦定理知：， ∴cosB＝，∵B∈（0，π），∴B＝． 故答案為： 【點(diǎn)睛】本題考查向量平行的充要條件和三角形的正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型． 3. 設(shè)，均為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為________. 【答案】16 【解析】 【分析】 本題是基本不等式中的一個(gè)常見題型，需要去掉分母，再利用基本不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式，解出最小值． 【詳解】由，可化為， ，均為正實(shí)數(shù)， （當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立） 即， 可解得，即

3、 故的最小值為16． 故答案為：16． 【點(diǎn)睛】解決本題的關(guān)鍵是先變形，再利用基本不等式來構(gòu)造一個(gè)新的不等式． 4. 已知方程x2＋有兩個(gè)不等實(shí)根a和b，那么過點(diǎn)A(a，a2)，B(b，b2)的直線與圓x2＋y2＝1的位置關(guān)系是________． 【答案】相切 【解析】 分析：由題意得過兩點(diǎn)的直線方程為，利用圓心到直線的距距等于半徑，即可判定直線與圓的位置關(guān)系． 詳解：由題意可知過兩點(diǎn)的直線方程為， 圓心到直線的距離為，而， 因此，化簡后得，故直線與圓相切． 點(diǎn)睛：本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的判定，熟記直線與圓的位置關(guān)系的判定方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解

4、答問題的能力，以及推理與運(yùn)算能力． 5. 若動(dòng)直線與函數(shù)與的圖象分別交于，兩點(diǎn)，則的最大值為________. 【答案】2 【解析】 【分析】 首先構(gòu)造新函數(shù)，利用輔助角公式化簡，結(jié)合正弦函數(shù)的最值求得結(jié)果. 【詳解】令， 所以的最大值為2， 故答案為：2. 【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有三角函數(shù)的化簡問題，正弦型函數(shù)的最值，屬于簡單題目. 6. 過雙曲線的右焦點(diǎn)作漸近線的垂線，垂足為.若的面積為，則該雙曲線的離心率為________. 【答案】 【解析】 【分析】 由題意畫出圖形，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，可求出雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離為b，

5、再結(jié)合面積為及可求得，進(jìn)而求出離心率 【詳解】 由題可知，設(shè)雙曲線的一條漸近線為：，即，， 雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離， 又，所以， 故的面積為，，所以，，故 故答案為： 【點(diǎn)睛】本題考查由雙曲線的幾何關(guān)系求解雙曲線離心率，其中焦點(diǎn)到漸近線距離應(yīng)該加以熟記，屬于基礎(chǔ)題 7. 已知直線經(jīng)過點(diǎn)，則的最小值是__． 【答案】32 【解析】 【分析】 根據(jù)題意，由直線經(jīng)過點(diǎn)，分析可得，即；進(jìn)而可得，結(jié)合基本不等式分析可得答案． 【詳解】根據(jù)題意，直線經(jīng)過點(diǎn)，則有， 即； 則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立； 即的最小值是32； 故答案為：32． 【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的性質(zhì)

6、以及應(yīng)用，涉及直線的一般式方程，屬于中檔題． 8. 過年了，小張準(zhǔn)備去探望奶奶，到商店買了一盒點(diǎn)心.為了美觀起見，售貨員用彩繩對(duì)點(diǎn)心盒做了一個(gè)捆扎（如圖（1）所示），并在角上配了一個(gè)花結(jié).彩繩與長方體點(diǎn)心盒均相交于棱的四等分點(diǎn)處.設(shè)這種捆扎方法所用繩長為，一般的十字捆扎（如圖（2）所示）所用繩長為.若點(diǎn)心盒的長、寬、高之比為，則的值為________. 【答案】 【解析】 【分析】 本題根據(jù)題意設(shè)出長寬高，再求出、直接作比即可. 【詳解】解： 點(diǎn)心盒的長、寬、高的比是， 設(shè)點(diǎn)心盒的長、寬、高分別為：、、， 由題意可得：，， ， 故答案為：. 【點(diǎn)睛】本題考

7、查空間幾何體的棱長問題，是簡單題. 9. 執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的的值是6，那么輸出的的值是________. 【答案】 【解析】 【分析】 由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量的值，模擬程序的運(yùn)行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案． 【詳解】解：第一次進(jìn)行循環(huán)后，，，滿足，； 第二次進(jìn)行循環(huán)后，，，滿足，； 第三次進(jìn)行循環(huán)后，，，滿足，； 第四次進(jìn)行循環(huán)后，，，不滿足； 故輸出的值為105， 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過程，以便得出正確的結(jié)論，屬于基礎(chǔ)題． 10.

8、 如圖，設(shè)是圖中邊長為的正方形區(qū)域，是內(nèi)函數(shù)圖象下方的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域.在內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在中的概率為 . 【答案】 【解析】 試題分析：圖中陰影部分的面積，而正方形區(qū)域的面積為，故該點(diǎn)落在中的概率. 考點(diǎn)：1.定積分；2.幾何概型 11. 已知點(diǎn)在曲線（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）上，為曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角，則的取值范圍是________. 【答案】 【解析】 【分析】 求導(dǎo)函數(shù)，確定其值域，即可求出的取值范圍． 【詳解】， ， , ， 的取值范圍是． 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的值域，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

9、 12. 已知函數(shù)，則不等式的解集是________. 【答案】 【解析】 【分析】 根據(jù)題意，分析可得為偶函數(shù)且在，上為增函數(shù)；據(jù)此可得等價(jià)于或，解可得的取值范圍，即可得答案． 【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)，其定義域?yàn)?，有，即函?shù)為偶函數(shù)， 當(dāng)時(shí)，有，則函數(shù)在，上為增函數(shù)； 或， 解可得：，即不等式的解集為； 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，注意分析函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題． 13. 已知、為圓上的兩點(diǎn)，且，設(shè)為弦的中點(diǎn)，則的最小值為________. 【答案】 【解析】 【分析】 根據(jù)題意，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，變形可得，進(jìn)

10、而可得，結(jié)合圓的方程可得，即點(diǎn)的軌跡方程為圓；又由，其幾何意義為圓上一點(diǎn)到直線的距離的5倍，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系分析可得的最小值，計(jì)算即可得答案． 【詳解】根據(jù)題意，，、，，且，為弦的中點(diǎn)， 則，則有， 變形可得：， 又由，、，為圓上的兩點(diǎn)，則，； 則有， 即點(diǎn)的軌跡方程為圓， 則，其幾何意義為圓上一點(diǎn)到直線的距離的5倍， 又由圓的圓心到直線的距離， 則圓上一點(diǎn)到直線的距離的最小值為，即的最小值為， 故，即的最小值為， 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，涉及軌跡方程的分析計(jì)算，屬于中檔題． 14. 已知等邊的邊長為1，點(diǎn)，，分別在邊，，上，且.若，，

11、則的取值范圍為________. 【答案】 【解析】 【分析】 先根據(jù)，得到，再由，得到的關(guān)系式，再根據(jù)的關(guān)系式確定的范圍，再令，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性，求出取值范圍. 【詳解】由題，又， ，得，則，又，則， ，由，則， 則， 得， 又，，得， 則，得或，又，得， 得或， 設(shè)，則，或 令，或， 故在單調(diào)遞增，得，即， 故答案為： 【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積公式，將幾何問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和值域，還考查了學(xué)生分析理解能力，轉(zhuǎn)化思想，運(yùn)算能力，難度較大. 二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分.請?jiān)诖痤}卡指定

12、區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟. 15. 在銳角中，角、、的對(duì)邊分別為、、，且滿足． （I）求角的大?。? （Ⅱ）設(shè)，試求的取值范圍． 【答案】 （I）；（Ⅱ） 【解析】 【詳解】解：（Ⅰ）∵，∴， ∴ ∵，∴，∴， 又，∴． （Ⅱ）， ∵是銳角三角形，，， ∴， ∴， ∴當(dāng)時(shí)，取最大值；且， ∴． 16. 如圖，已知和都垂直于平面，，是的中點(diǎn). （1）若為中點(diǎn)，求證：平面； （2）求證：平面. 【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析. 【解析】 【分析】 （1）作中點(diǎn)，連結(jié)，，結(jié)合中位線定理可證四邊形為

13、平行四邊形，得出由線面平行的判定定理即可求證； （2）要證平面，即證垂直于平面的兩條交線，不難證，接下來考慮求證，直接法不好證，可將問題轉(zhuǎn)化為求證平面，作中點(diǎn)，連結(jié)，，結(jié)合中位線定理可證四邊形是平行四邊形，通過求證平面進(jìn)而得證 【詳解】 證明：（1）取中點(diǎn)，連結(jié)， 因?yàn)闉橹悬c(diǎn)， 所以，且. 因?yàn)楹投即怪庇谄矫妫? 所以，又， 所以，且. 所以四邊形為平行四邊形， 所以， 又平面，平面， 所以平面. （2） 取中點(diǎn)，連結(jié)，， 因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)， 所以，且. 因?yàn)楹投即怪庇谄矫妫? 所以. 又，所以，且， 所以四邊形是平行四邊形. 所以. 因，為中點(diǎn)， 所

14、以，所以. 因?yàn)榇怪庇谄矫妫矫妫? 所以，所以. 因?yàn)椋矫妫? 所以平面.因?yàn)槠矫妫? 所以. 因?yàn)?，是的中點(diǎn)， 所以. 因?yàn)?，平面? 所以平面. 【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明，線面垂直的證明，其中涉及中點(diǎn)問題常采用中位線定理和平行四邊形性質(zhì)求證線面平行，線面垂直的證明除了采用判定定理直接證明，有時(shí)也需通過線面垂直的性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，如本題中的的證明 17. 為了保護(hù)環(huán)境，2015年合肥市勝利工廠在市政府的大力支持下，進(jìn)行技術(shù)改進(jìn)：把二氧化碳轉(zhuǎn)化為某種化工產(chǎn)品，經(jīng)測算，該處理成本（萬元）與處理量（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為：且每處理一噸二氧化碳可得價(jià)值為20萬元的某

15、種化工產(chǎn)品． （1）當(dāng)時(shí)，判斷該技術(shù)改進(jìn)能否獲利？如果能獲利，求出最大利潤；如果不能獲利，則國家至少需要補(bǔ)貼多少萬元，該工廠才不虧損？ （2）當(dāng)處理量為多少噸時(shí)，每噸的平均處理成本最少？ 【答案】（1）該工廠不會(huì)獲利，；（2）． 【解析】 試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)該工廠獲利為，當(dāng)時(shí)，，因此，該工廠不會(huì)獲利，所以國家至少需要補(bǔ)貼萬元，才能使工廠不虧損；（2）由題意可知，二氧化碳的每噸平均處理成本為：再利用導(dǎo)數(shù)求出其最值即可． 試題解析： （1）當(dāng)時(shí)，設(shè)該工廠獲利為萬元，則， 所以當(dāng)時(shí)，，因此，該工廠不會(huì)獲利，所以國家至少需要補(bǔ)貼700萬元，才能使工廠不虧損． （2）由題意可知，

16、二氧化碳的每噸平均處理成本為： ①當(dāng)時(shí)，，所以， 所以時(shí)，，為減函數(shù)； 時(shí)，，為增函數(shù)， 所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，即； ②當(dāng),, 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值， ∵，∴當(dāng)處理量為40噸時(shí)，每噸的平均處理成本最少． 考點(diǎn)：1、函數(shù)基本性質(zhì)；2、基本不等式；3、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性． 18. 設(shè)是偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)， （1）當(dāng)時(shí)，求的解析式； （2）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，試求的表達(dá)式； （3）若方程有四個(gè)不同的實(shí)根，且它們成等差數(shù)列，試探求與滿足的條件． 【答案】（1）；（2）；（3）與滿足的條件為且，或且，或且. 【解析】 【分析】 （1）設(shè)、，利用已知函數(shù)的解析式

17、，即可求得結(jié)論； （2）因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以它在區(qū)間，上的最大值即為它在區(qū)間，上的最大值，分類討論，即可求得結(jié)論； （3）設(shè)這四個(gè)根從小到大依次為，，，，則當(dāng)方程在，上有四個(gè)實(shí)根時(shí)，由，且，得，，從而，且要求對(duì)恒成立，由此可得結(jié)論． 【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)， 同理，當(dāng)時(shí)，， 所以，當(dāng)時(shí)，的解析式為 （2）因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以它在區(qū)間上的最大值即為它在區(qū)間上的最大值， ①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以 ②當(dāng)時(shí)，在與上單調(diào)遞增，在與上單調(diào)遞減， 所以此時(shí)只需比較與的大小． （i）當(dāng)時(shí)，，所以 （ii）當(dāng)時(shí)，， 所以 ③當(dāng)時(shí)，在與上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且， 所以.

18、 綜上所述，． （3）設(shè)這四個(gè)根從小到大依次為，，，． ①當(dāng)方程在上有四個(gè)實(shí)根時(shí)，由，且，得，， 從而，且要求對(duì)恒成立． （i）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以對(duì)恒成立， 即適合題意． （ii）當(dāng)時(shí)，欲對(duì)恒成立，只要， 解得，故此時(shí)應(yīng)滿足． ②當(dāng)方程在上有兩個(gè)實(shí)根時(shí)，，且，， 所以必須滿足，且，，解得． ③當(dāng)方程在上無實(shí)根時(shí)，，， 由，，解得，， 所以， 且由，解得． 綜上所述，與滿足的條件為且，或且， 或且． 【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)解析式的確定，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查數(shù)列與函數(shù)的結(jié)合，屬于難題． 19. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心

19、率為，點(diǎn)在橢圓上.若直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與直線相交于. （1）求橢圓的方程； （2）當(dāng)直線的斜率為時(shí)，求直線的方程； （3）點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，若總有，求點(diǎn)坐標(biāo). 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】 （1）首先根據(jù)題意得到，再解方程組即可得到答案. （2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓得到，再根據(jù)即可得到答案. （3）直線的斜率一定存在，設(shè)其方程為，與橢圓聯(lián)立得到，根據(jù)直線與橢圓相切得到，從而得到，再求出，設(shè)，根據(jù)得到對(duì)任意的，恒成立，從而得到坐標(biāo)為. 【詳解】（1）設(shè)橢圓的焦距為， 由題意，得，解得. 所以橢圓的方程為. （2）由題意，設(shè)

20、直線的方程為， 聯(lián)立方程組，得， 因?yàn)橹本€與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)， 所以解得， 所以直線的方程為. （3）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，與直線無交點(diǎn)，不符合題意， 故直線的斜率一定存在，設(shè)其方程為， 由，得， 因?yàn)橹本€與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)， 所以， 化簡得：， 所以，， ，即， 因?yàn)橹本€與直線相交于，所以 設(shè)，所以， 即對(duì)任意的，恒成立， 所以，即， 所以點(diǎn)坐標(biāo)為. 【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系，同時(shí)考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和學(xué)生的計(jì)算能力，屬于難題. 20. 設(shè)，兩個(gè)函數(shù)，的圖像關(guān)于直線對(duì)稱. （1）求實(shí)數(shù)，滿足的關(guān)系式； （2）當(dāng)取何值時(shí)，函數(shù)

21、有且只有一個(gè)零點(diǎn)； （3）當(dāng)時(shí)，在上解不等式. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】 （1）本小題利用兩個(gè)函數(shù)關(guān)于的性質(zhì)直接求解即可； （2）本小題利用函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化為切點(diǎn)問題，再借用切點(diǎn)求解即可； （3）本小題利用函數(shù)的單調(diào)性，借導(dǎo)函數(shù)求解不等式即可. 【詳解】解：（1）設(shè)是函數(shù)圖像上任一點(diǎn)，則它關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，∴，∴. （2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，兩個(gè)函數(shù)的圖像有且只有一個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，∴兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)就是函數(shù)的圖像與直線的切點(diǎn). 設(shè)切點(diǎn)為，，， ∴，∴，∴， ∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)； （3）

22、當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，，， 當(dāng)時(shí)，，，. ∴在上是減函數(shù). 又，∴不等式解集是. 【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖像的對(duì)稱性問題、函數(shù)的零點(diǎn)以及借導(dǎo)函數(shù)求解不等式問題，是偏難題. 高三數(shù)學(xué)附加 【選做題】本題包括A、B、C三小題，請選定其中兩題，并在答題卡相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答.若多做，則按作答的前兩題評(píng)分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. A.[選修4-2：矩陣與變換] 21. 已知，矩陣的特征值所對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為. （1）求矩陣； （2）若曲線在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到另一曲線，求曲線的方程. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由特征值和特

23、征向量的定義可得，然后將矩陣代入計(jì)算可得出的值，得出答案. (2)設(shè)曲線上任一點(diǎn)在矩陣的作用下得到曲線上一點(diǎn)，則，即得到，消參可得答案. 【詳解】【解】（1）因?yàn)槭蔷仃嚨奶卣髦邓鶎?duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量， 所以，即， 所以，解得. 所以矩陣 （2）設(shè)曲線上任一點(diǎn)在矩陣的作用下得到曲線上一點(diǎn)， 則， 所以，解得. 因?yàn)椋? 所以，即曲線的方程為. 【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)特征值與特征向量的定義得出矩陣中的參數(shù)，以及一條直線在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的曲線，知道其中一條直線和相應(yīng)的矩陣求出另一條直線方程．本題屬中檔題． B.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 22. 在極坐標(biāo)系中，

24、圓的方程為.以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．若直線與圓恒有公共點(diǎn)，求的取值范圍． 【答案】 【解析】 【分析】 將圓的極坐標(biāo)方程化為普通方程，確定圓心和半徑，并將直線的方程化為一般方程，利用圓心到直線的距離不大于可得出關(guān)于的不等式，進(jìn)而可求得正數(shù)的取值范圍. 【詳解】因?yàn)閳A的極坐標(biāo)方程為，所以， 因?yàn)?，，所以，整理得? 即圓是圓心為，半徑為的圓， 因?yàn)橹本€的參數(shù)方程為，消去得， 所以，直線的普通方程為， 因?yàn)橹本€和圓有公共點(diǎn)，所以圓心到直線的距離，解得， 因此，的取值范圍是. 【點(diǎn)睛】本題考查利用直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)的

25、取值范圍，同時(shí)也考查曲線的極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與普通方程之間的相互轉(zhuǎn)化，考查計(jì)算能力，屬于中等題. C.[選修4-5：不等式選講] 23. 已知實(shí)數(shù)、、滿足，，，，求證：． 【答案】見解析 【解析】 【分析】 利用柯西不等式證明出，由此可證明出. 【詳解】由柯西不等式，得 ， 所以． 【點(diǎn)睛】本題考查利用柯西不等式證明不等式，解答的關(guān)鍵在于對(duì)代數(shù)式進(jìn)行合理配湊，考查推理能力，屬于中等題. 【必做題】每題10分，共計(jì)20分，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟. 24. 在如圖的幾何體中，平面為正方形，平面為等腰梯形，∥，，，． （Ⅰ）求證：平面； （Ⅱ）求直

26、線與平面所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）． 【解析】 【詳解】試題分析：（Ⅰ）要平面，已知，只需要在面內(nèi)再找一條直線與AC垂直即可證，由，，此時(shí)可用正弦定理或者余弦定理求出邊與、的關(guān)系，再用勾股定理說明；（Ⅱ）由為等腰梯形，，，可以求出，又由（Ⅰ）可證平面． 方法1：取AB中點(diǎn)M，則 ，又，所以△是等邊三角形，取的中點(diǎn)，連結(jié)，，可證為直線與平面所成角； 方法2：由、、兩兩垂直，建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量和直線的方向向量，利用向量求出線面角的正弦值． 試題解析：解：（Ⅰ）因?yàn)?，? 在△中，由余弦定理可得． 所以，所以． 因?yàn)?，，、平面? 所以平面． （Ⅱ

27、）解法1：由（Ⅰ）知，平面，平面， 所以． 因?yàn)槠矫鏋檎叫?，所以? 因?yàn)椋云矫妫? 取的中點(diǎn)，連結(jié)，， 因?yàn)槭堑妊菪?，且，? 所以．所以△是等邊三角形，且． 取的中點(diǎn)，連結(jié)，，則因?yàn)槠矫妫?，所以? 因?yàn)?，所以平面? 所以為直線與平面所成角． 因?yàn)槠矫妫裕? 因?yàn)?，? 在△中，． 所以直線與平面所成角的正弦值為 解法2：由（1）知，平面，平面， 所以． 因?yàn)槠矫鏋檎叫?，所以? 因?yàn)?，所以平面? 所以，，兩兩互相垂直， 建立如圖的空間直角坐標(biāo)系． 因?yàn)槭堑妊菪危遥? 所以． 不妨設(shè)，則，，，，， 所以，，．設(shè)平面的法向量為，則有即

28、 取，得是平面的一個(gè)法向量．設(shè)直線與平面所成的角為， 則． 所以直線與平面所成角的正弦值為． 考點(diǎn)：1．線面垂直的判定；2．線面角；3．空間向量的應(yīng)用． 25. 給定個(gè)不同的數(shù)、、、、，它的某一個(gè)排列的前項(xiàng)和為，該排列中滿足的的最大值為．記這個(gè)不同數(shù)的所有排列對(duì)應(yīng)的之和為． （1）若，求； （2）若，. ①證明：對(duì)任意的排列，都不存在使得； ②求（用表示）． 【答案】（1）；（2）①見解析；②. 【解析】 【分析】 （1）列出、、的所有排列，求出個(gè)排列中的值，進(jìn)而可求得的值； （2）①設(shè)個(gè)不同數(shù)某一個(gè)排列為、、、，求得為奇數(shù)，再由為偶數(shù)可得出結(jié)論； ②由題意可得出，

29、可得出且，考慮排列的對(duì)應(yīng)倒序排列，推導(dǎo)出，由此可得出，再由、、、、這個(gè)不同數(shù)可形成個(gè)對(duì)應(yīng)組合，進(jìn)而可求得的值. 【詳解】（1）、、的所有排列為、、；、、；、、；、、；、、；、、. 因?yàn)?，所以?duì)應(yīng)的分別為、、、、、，所以； （2）（i）設(shè)個(gè)不同數(shù)的某一個(gè)排列為、、、， 因?yàn)?，，所以為奇?shù)， 而為偶數(shù)，所以不存在使得 （ii）因，即， 又由（i）知不存在使得， 所以； 所以滿足的最大下標(biāo)即滿足①， 且②， 考慮排列的對(duì)應(yīng)倒序排列、、、， ①②即，， 由題意知，則； 又、、、、這個(gè)不同數(shù)共有個(gè)不同的排列，可以構(gòu)成個(gè)對(duì)應(yīng)組合， 且每組中，所以． 【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列中的新定義，著重考查分析，對(duì)抽象概念的理解與綜合應(yīng)用的能力，對(duì)（3）觀察，分析尋找規(guī)律是難點(diǎn)，是難題.