小波分析第一講

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1、小波理論分析與應(yīng)用小波理論分析與應(yīng)用 傅里葉分析傅里葉分析 窗口傅里葉變換窗口傅里葉變換之之第一講第一講 小波分析是當(dāng)前數(shù)學(xué)中一個迅速發(fā)展的新領(lǐng)域，它同時(shí)具有理論深刻和應(yīng)用十分廣泛的雙重意義。 小波變換的概念是由法國從事石油信號處理的工程師J.Morlet在1974年首先提出的，通過物理的直觀和信號處理的實(shí)際需要 經(jīng)驗(yàn)的建立了反演公式，當(dāng)時(shí)未能得 到數(shù)學(xué)家的認(rèn)可。 小波分析的應(yīng)用是與小波分析的 理論研究緊密地結(jié)合在一起地。 小波分析的應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛，它包括小波分析的應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛，它包括： 數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多學(xué)科；信號分析、圖象處理；量子力學(xué)、理論物理；軍事電子對抗與武器的智能化；計(jì)算機(jī)分類與

2、識別；音樂與語言的人工合成；醫(yī)學(xué)成像與診斷；地震勘探數(shù)據(jù)處理；大型機(jī)械的故障診斷等方面；例如： 在數(shù)學(xué)方面數(shù)學(xué)方面，它已用于數(shù)值分析、構(gòu)造快速數(shù)值方法、曲線曲面構(gòu)造、微分方程求解、控制論等。 在信號分析方面信號分析方面的濾波、去噪聲、壓縮、傳遞等。 在圖象處理方面圖象處理方面的圖象壓縮、分類、 識別與診斷，去污等。 在醫(yī)學(xué)成像方面醫(yī)學(xué)成像方面的減少B超、CT、 核磁共振成像的時(shí)間，提高分辨率等。 傅里葉（傅里葉（Fourier)Fourier)分析分析是數(shù)字信號處理的基礎(chǔ)，也是現(xiàn)代信號處理的出發(fā)點(diǎn)。它將信號分析從時(shí)間域變換到了頻率域。 泛函分析泛函分析是20世紀(jì)初開始發(fā)展起 來的一個重要的數(shù)學(xué)

3、分支，它是 以集合論為基礎(chǔ)的現(xiàn)代分析手段， 它用更加抽象的概念來描述熟知 的對象。 小波理論小波理論是建立在傅里葉分析和泛函分析基礎(chǔ)之上的視頻分析工具之一。 小波變換小波變換是對傅里葉變換與短時(shí)傅里葉變換的發(fā)展，為信號分析、圖像處理、量子物理及其他非線性科學(xué)的研究域帶來革命的影響。1、傅里葉變換（1）傅里葉（FT）定義 ( )j tFf t edt（ ）=1( )( )2j tf tFed其中，式（1.2）稱為傅里葉反變換（IFT) （1.1） （1.2） 一、傅里葉分析(2)FT的性質(zhì) 1.對偶性 利用對偶性可以方便地得到一些函數(shù)的傅里葉變換或反變換公式，即 F( )2()F tf2.位移

4、時(shí)域位移將導(dǎo)致信號頻譜增加一個附加相位，但是幅頻特性不變，即()( )jaf taFeF3.卷積 卷積特性分為時(shí)域卷積和頻域卷積，即12121( )( )( )( )2f tf tFFFF1212( )*( )( )( )f tf tFF4.Parseval定理（內(nèi)積定理） 它表明兩個信號在時(shí)域和頻域中的內(nèi)積之間的關(guān)系，即 *12121( )( )( )( )2f t ft dtFFd特別當(dāng) 時(shí)，有 12ftft22211( )( )( )2f tdtFdF fdf 上式實(shí)際上給出了信號的能量關(guān)系。在時(shí)域和頻域的總能量是相等的，故也稱為能量守恒定理。 信號在一個域內(nèi)的伸縮會導(dǎo)致在信號在一個域內(nèi)

5、的伸縮會導(dǎo)致在另一個域的相反方向上的伸縮另一個域的相反方向上的伸縮。5.尺度伸縮? 在小波分析中，有著大量涉及信號在時(shí)域和頻域的伸縮和變尺度分析。()tfa F aa二、泛函分析1.函數(shù)空間 （1）線性空間 例：平方可積函數(shù)空間 （2）賦范線性空間 例： 22( )( )( )L Rf xf xdx 11nkkx12221nkkx1maxkk nx （3）巴拿赫（Banach)空間（4）希爾伯特（Hilbert）空間 例1：對于線性空間 ， 定義內(nèi)積為22( ),( )L Rf gL R*,( )( )fgfx gx dx例2：在n維歐氏空間 中， ，定義內(nèi)積為 nR,nfgR1212(,.,

6、),(,.)nnffffgg gg111,.nnniiif gf gf gf g2.基底及展開（1）由函數(shù)序列張成的空間 設(shè) 為函數(shù)序列，令集合 為即 為函數(shù)序列 的所有可能的線性組合構(gòu)成的集合，則稱 為序列 張成的線性空間，簡記為 ( )ke t ( )ke t ( )ke tXXX( ), ,kkkkXa e t t aR kZ kXspan e（2）基底 若序列 線性無關(guān)，則 ，式中的系數(shù) 的取值是惟一的。此時(shí)，就稱 為空間 的一組基底。 ( )ke t ( )ke tkagX X（3）正交（直交） 設(shè)x,y為內(nèi)積空間中的兩個元素， 若內(nèi)積 ，則稱x,y 相 互正交，簡記為 。,0 x

7、yxy（4）規(guī)范正交基 若內(nèi)積空間 中的基底 滿足 則稱 為 中的規(guī)范正交基（標(biāo)準(zhǔn)正交基）。 故 都可以展開成為 并且有Parseval等式，即X ne neX0,()1,mnmneemnmnxX 1,nnnxxee 221,nnxx e （5）雙正交基 對于不滿足規(guī)范正交條件的基底 來說，如果存在另一組對偶基底 使得 對應(yīng)的傅里葉展開式為 規(guī)范正交性存在于原基底與對偶基底之間， 展開式也相應(yīng)的由原基底和對偶基底構(gòu)成， 這種基稱為雙正交基，與互為對偶基底。 ke ne 0,()1,nmmneemnmn1,nnnff ee（6）框架 設(shè)H為Hilbert空間， 為H中的一個函數(shù)序列，若 ，都存在

8、實(shí)數(shù)A,B使得 則稱為框架，其中A,B分別稱為框架的上、下界。 當(dāng)A=B時(shí)，此框架稱為緊框架； 尤其當(dāng)A=B=1時(shí)，此緊框架就變 為規(guī)范正交基。kfH 22,kkA ffB f 3.從泛函角度描述傅里葉變換 （1）用內(nèi)積表示傅里葉變換 內(nèi)積空間中的函數(shù)，其傅里葉變換可用內(nèi)積表示為 （2）用基底表示函數(shù)的展開()( )( ),j tj tFf tedtf te,nnnffee三、離散傅里葉變換 類似于連續(xù)信號，時(shí)域離散信號也可以根據(jù)是否為周期性，分為離散時(shí)間序列傅里葉變換（DTFT）和離散傅里葉變換（DFT）。1.DTFT 對任一序列 ，其DTFT定義為 其中， 為數(shù)字角頻率。 是由絕對可和的序

9、列構(gòu)成的空間。()jnnXx ne 1 x nl1l對應(yīng)的反變換公式為2.DFT 對原信號及其頻譜的描述只取其中的一個周期，即1 ()2jnx nXed21100 ,0,1,.,1NNjnknkNNnnX kx n ex n WkN2110011 ,0,1,.,1NNjnknkNNnnx nX k eX k WnNNN基于MATLAB的DFT變換實(shí)驗(yàn)令被分析信號序列為列矢量，即其DFT信號為令則DFT可以表示為矩陣形式，即 0, 1,., 1TNxxxx n0,1,.,1TNXXXX n00001101(1)(1)NNNNNWWWWWWWWWWNNNXW x 用MATLAB實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖1顯示了

10、離散信號序列和DFT變換結(jié)果。窗口傅里葉變換 由于傳統(tǒng)傅里葉分析只適用于平穩(wěn)信號，在進(jìn)行非平穩(wěn)信號的分析時(shí)通常采用時(shí)頻處理方法，它將一維時(shí)域信號分解為二維時(shí)域頻域聯(lián)合分布表示。傳統(tǒng)傅里葉分析不適用于時(shí)變信號的分析，但是可以在時(shí)域和頻域內(nèi)進(jìn)行加窗處理，窗內(nèi)的信號認(rèn)為是準(zhǔn)平穩(wěn)的，對它們可以采用平穩(wěn)信號的分析方法，如頻譜分析和功率譜分析。這就是窗口傅里葉變換。（1)傳統(tǒng)傅里葉分析的局限性 傳統(tǒng)的傅里葉分析在平穩(wěn)信號的分析和處理中具有重要作用。它將時(shí)間域內(nèi)復(fù)雜信號的分析轉(zhuǎn)換為頻率域內(nèi)的具有簡單參數(shù)的頻譜密度的分析，或者分解為頻域內(nèi)的具有簡單形狀的信號之和。這種從一個分析域轉(zhuǎn)換到另一個分析域的方法是信號

11、分析中的常用方法。 但是現(xiàn)實(shí)世界中的很多信號，例如，腦電波信號、地震信號、語音信號等，都是非平穩(wěn)的。這些信號的頻率是時(shí)變的。 對于這種信號的準(zhǔn)確描述，必須使用具有局部 性能的時(shí)域和頻域的二維 聯(lián)合表示， 或者說必須提取特定時(shí)間段和頻率段內(nèi)的信號 特性。這時(shí)，傳統(tǒng)的傅里葉分析就顯得無能為力了。 傅里葉變換所描述的是整個時(shí)間段內(nèi)頻率 的特性，或者說它是一種全局的變換而沒有 刻畫出特定時(shí)間段或頻率段的特性。一、時(shí)頻分析(,)t(2)時(shí)域-頻域聯(lián)合分析 對于非平穩(wěn)信號的分析，一種有效的方法是時(shí)域-頻域二維聯(lián)合分析。信號從一維時(shí)域 表示分解為時(shí)域和頻域的二維聯(lián)合表示 ，用以描述信號在不同時(shí)刻的頻率分布情

12、況。常用的時(shí)頻分析手段有窗口傅里葉變換、小波變換和Wigner-Ville分布等。 ( )f t( ,)F t 雖然時(shí)變信號的頻率特性隨著時(shí)間而改變，但是這種改變是漸變的而非突變的，也就是說，在一個特定的足夠小的區(qū)間（窗）內(nèi)，可以認(rèn)為信號的特性是不變的，信號是局部穩(wěn)定的或準(zhǔn)平穩(wěn)的。二、加窗時(shí)頻分析1.時(shí)窗處理 將信號在時(shí)域內(nèi)進(jìn)行分段，等效于用位置不同的窗函數(shù) 與原信號 相乘的結(jié)果，如下圖所示。在時(shí)域內(nèi)，時(shí)間函數(shù)一般選取具有能量局部化的函數(shù)。先選定一個基本窗函數(shù) ， 然后將 沿時(shí)間軸平移得到一組窗函數(shù)， 其中 為時(shí)間位移。平移后的窗函數(shù)分別 與原信號相乘，其結(jié)果就等效于提取了 原信號的不同時(shí)間段

13、內(nèi)的信息而屏蔽了 段外的信號。( )g t( )f t( )g t( )g t ()b Rg tbb0ttt00( )f t( )g t( )( )f tg t 最簡單的時(shí)間窗是矩形窗函數(shù)，如上圖所示。但是也可以根據(jù)需要選擇其他的窗函數(shù)，如Gauss窗、Hanning窗、Blackman窗等。其中，矩形窗函數(shù)具有非常良好的時(shí)域局部化性質(zhì)： （1）具有時(shí)域緊支集。 （2）窗內(nèi)信號保持原樣。 （3）窗外信號完全衰減為0，完全地屏蔽了窗外信號。 （4）窗的過渡帶為“陡”的階躍跳變， 因此，沒有平滑的衰減過渡帶和窗拖尾。 根據(jù)常用傅里葉變換，矩形窗函數(shù)的頻譜 為sinc函數(shù)，它有著很長的拖尾。這就引入

14、 了帶外頻譜干擾，或者說在頻域內(nèi)的局部化 特性不夠好，給帶內(nèi)信號的分析帶來了干擾。2.頻窗處理 加頻窗處理實(shí)際上是將信號通過濾波器組，或者說將信號分別 與多個頻窗相乘。頻窗是由低通濾波器 在頻率軸上的平移而形成的一系列帶通濾波器 ，其中 為頻率位移。帶通濾波器組的作用就是提取信號在特定頻率段（頻帶）內(nèi)的信息而屏蔽頻帶外信號。( )F( )G()RG三、窗口傅里葉變換的基本思想 1946年，Gabor提出了窗口傅里葉:變換在傳統(tǒng)的傅里葉分析之前，對信號進(jìn)行了加窗處理。這里的窗函數(shù) 的選擇有些特殊：首先，它時(shí)實(shí)對稱函數(shù)；其次，它在某個小區(qū)間內(nèi)衰減很小，而在區(qū)間外迅速衰減為 0。 Gabor在最初的

15、處理中采用的時(shí)Gauss窗 作為基本窗函數(shù)，通過在時(shí)間軸上平移得到一組窗 函數(shù) 。( )g t2142( )tg te ()g tbGabor變換的定義如下： 設(shè) ，即 ，且 為實(shí)對稱函數(shù)，則信號 的窗口傅里葉變換（Gabor)變換定義為 其中， 稱為基本窗函數(shù)， 其能量集中于 附近，在 遠(yuǎn)離 區(qū)域，它迅速衰減為0。2( )( )g tL R20( )g tdt ( )g t( )f t( )g t0t 0t ( , )( ) ()j tfGbf t g tb edt 保留了信號在 附近的信息而屏蔽了遠(yuǎn)區(qū)信息。 是將窗函數(shù)平移到 ，因此， 保留的是 附近的信號信息。故， 實(shí)際上分析了 附近的頻

16、率特性。( ) ( )f t g t0t ()g tbtb( ) ()f t g tbtb( , )( ) ()j tfGbf t g tb edttb四、時(shí)窗、頻窗和時(shí)頻窗 窗函數(shù)的中心和寬度，分別表征窗函數(shù)的位置和集中程度的度量信息。1.時(shí)窗與其度量 （1）基本定義 在窗函數(shù)滿足 ，即 下， 定義時(shí)窗中心為2( )( )g tL R20( )g tdt 202( )( )t g tdttg tdt 定義時(shí)窗寬度為 通常情況下，要求窗函數(shù)具有歸一化能量，即 故有：2( )( )1g tg tdt122202()( )( )tttg tdtg tdt 1 2220()( )tttg tdt20

17、( )tt g tdt2.數(shù)學(xué)和物理解釋 將 認(rèn)為是一種概率分布 ， 那么 和 實(shí)際上就是對自變量 的期望和方差，或者說是一階和二階矩，即 根據(jù)定義，時(shí)窗函數(shù)的窗口 定義為2( )g t2( )( )p tg t0tt2t20( )( )tE tt g tdt1 2222200( )() ()( )tD tE t tt tg tdt00,22tttt 根據(jù)矩的性質(zhì)，一階矩表征了信號的集中位置，二階矩表征了信號的擴(kuò)展程度。因此， 可以理解為信號的平均時(shí)間或中平均時(shí)間或中心位置心位置的定義； 可以作為信號在時(shí)間軸上所占有的有效寬度有效寬度的度量。 從這個意義上講，Gabor變換表征了信號在以 為中心、左右各為 的局部時(shí)間內(nèi)的頻率特性。 窗口寬度為 ，它決定了 時(shí)域分辨率。 從物理意義上講， 可以看成是 重心， 看成是轉(zhuǎn)動慣量。0t0t2ttt0t2t