2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 12.2古典概型教案 理 新人教A版 .DOC

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2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 12.2古典概型教案 理 新人教A版 xx高考會(huì)這樣考　1.考查古典概型概率公式的應(yīng)用；2.考查古典概型與事件關(guān)系及運(yùn)算的綜合題；3.與統(tǒng)計(jì)知識(shí)相結(jié)合，考查解決綜合問題的能力． 復(fù)習(xí)備考要這樣做　1.掌握解決古典概型的基本方法，列舉基本事件、隨機(jī)事件，從中找出基本事件的總個(gè)數(shù)，隨機(jī)事件所含有的基本事件的個(gè)數(shù)；2.復(fù)習(xí)時(shí)要加強(qiáng)與統(tǒng)計(jì)相關(guān)的綜合題的訓(xùn)練，注重理解、分析、邏輯推理能力的提升． 1． 基本事件的特點(diǎn) (1)任何兩個(gè)基本事件是互斥的． (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2． 古典概型 具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型． (1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)． (2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等． 3． 如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個(gè)基本事件的概率都是　?。蝗绻硞€(gè)事件A包括的結(jié)果有m個(gè)，那么事件A的概率P(A)＝　　. 4． 古典概型的概率公式 P(A)＝. [難點(diǎn)正本　疑點(diǎn)清源] 1． 一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型，在于這個(gè)試驗(yàn)是否具有古典概型的兩個(gè)特點(diǎn)——有限性和等可能性，只有同時(shí)具備這兩個(gè)特點(diǎn)的概型才是古典概型． 2． 從集合的角度去看待概率，在一次試驗(yàn)中，等可能出現(xiàn)的全部結(jié)果組成一個(gè)集合I，基本事件的個(gè)數(shù)n就是集合I的元素個(gè)數(shù)，事件A是集合I的一個(gè)包含m個(gè)元素的子集． 故P(A)＝＝. 1． 甲、乙、丙三名同學(xué)站成一排，甲站在中間的概率是__________． 答案　 解析　甲共有3種站法，故站在中間的概率為. 2． 從1,2,3,4,5,6這6個(gè)數(shù)字中，任取2個(gè)數(shù)字相加，其和為偶數(shù)的概率是________． 答案　 解析　從6個(gè)數(shù)中任取2個(gè)數(shù)的可能情況有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15種，其中和為偶數(shù)的情況有(1,3)，(1,5)，(2,4)，(2,6)，(3,5)，(4,6)，共6種，所以所求的概率是. 3． 從{1,2,3,4,5}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為a，從{1,2,3}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為b，則b>a的概率是 (　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　基本事件的個(gè)數(shù)有53＝15，其中滿足b>a的有3種，所以b>a的概率為＝. 4． 一個(gè)口袋內(nèi)裝有2個(gè)白球和3個(gè)黑球，則先摸出1個(gè)白球后放回的條件下，再摸出1個(gè)白球的概率是 (　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　先摸出1個(gè)白球后放回，再摸出1個(gè)白球的概率，實(shí)質(zhì)上就是第二次摸到白球的概率，因?yàn)榇鼉?nèi)裝有2個(gè)白球和3個(gè)黑球，因此概率為. 5． (xx廣東)從個(gè)位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)中任取一個(gè)，其個(gè)位數(shù)為0的概率是 (　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　個(gè)位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)，則個(gè)位數(shù)與十位數(shù)中必有一個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)，所以可以分兩類． (1)當(dāng)個(gè)位為奇數(shù)時(shí)，有54＝20(個(gè))符合條件的兩位數(shù)． (2)當(dāng)個(gè)位為偶數(shù)時(shí)，有55＝25(個(gè))符合條件的兩位數(shù)． 因此共有20＋25＝45(個(gè))符合條件的兩位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)為0的兩位數(shù)有5個(gè)，所以所求概率為P＝＝. 題型一　基本事件 例1　有兩顆正四面體的玩具，其四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4，下面做投擲這兩顆正四面體玩具的試驗(yàn)：用(x，y)表示結(jié)果，其中x表示第1顆正四面體玩具出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，y表示第2顆正四面體玩具出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)．試寫出： (1)試驗(yàn)的基本事件； (2)事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于3”； (3)事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)相等”． 思維啟迪：由于出現(xiàn)的結(jié)果有限，每次每顆只能有四種結(jié)果，且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相等的，所以是古典概型．由于試驗(yàn)次數(shù)少，故可將結(jié)果一一列出． 解　(1)這個(gè)試驗(yàn)的基本事件為 (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)， (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)． (2)事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于3”包含以下13個(gè)基本事件： (1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)， (3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)． (3)事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)相等”包含以下4個(gè)基本事件： (1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)． 探究提高　基本事件的確定可以使用列舉法和樹形圖法． 　用紅、黃、藍(lán)三種不同顏色給圖中3個(gè)矩形隨機(jī)涂色，每個(gè)矩形只涂一種 顏色，求： (1)3個(gè)矩形顏色都相同的概率； (2)3個(gè)矩形顏色都不同的概率． 解　所有可能的基本事件共有27個(gè)，如圖所示． (1)記“3個(gè)矩形都涂同一顏色”為事件A，由圖，知事件A的基本事件有13＝3(個(gè))，故P(A)＝＝. (2)記“3個(gè)矩形顏色都不同”為事件B，由圖，可知事件B的基本事件有23＝6(個(gè))，故P(B)＝＝. 題型二　古典概型問題 例2　有編號(hào)為A1，A2，…，A10的10個(gè)零件，測量其直徑(單位：cm)，得到下面數(shù)據(jù)： 編號(hào) A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 直徑 1.51 1.49 1.49 1.51 1.49 1.51 1.47 1.46 1.53 1.47 其中直徑在區(qū)間[1.48,1.52]內(nèi)的零件為一等品． (1)從上述10個(gè)零件中，隨機(jī)抽取一個(gè)，求這個(gè)零件為一等品的概率； (2)從一等品零件中，隨機(jī)抽取2個(gè)． ①用零件的編號(hào)列出所有可能的抽取結(jié)果； ②求這2個(gè)零件直徑相等的概率． 思維啟迪：確定基本事件總數(shù)，可用列舉法．確定事件所包含的基本事件數(shù)，用公式求解． 解　(1)由所給數(shù)據(jù)可知，一等品零件共有6個(gè)，記“從10個(gè)零件中，隨機(jī)抽取一個(gè)，這個(gè)零件為一等品”為事件A，則P(A)＝＝. (2)①一等品零件的編號(hào)為A1，A2，A3，A4，A5，A6，從這6個(gè)一等品零件中隨機(jī)抽取2個(gè)，所有可能的結(jié)果有{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15種． ②“從一等品零件中，隨機(jī)抽取2個(gè)，這2個(gè)零件直徑相等”記為事件B，則其所有可能結(jié)果有{A1，A4}，{A1，A6}，{A4，A6}，{A2，A3}，{A2，A5}，{A3，A5}，共6種，所以P(B)＝. 探究提高　求古典概型的概率的關(guān)鍵是求試驗(yàn)的基本事件的總數(shù)和事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)，這就需要正確列出基本事件，基本事件的表示方法有列舉法、列表法和樹形圖法，具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)需要靈活選擇． 　(xx上海)三位同學(xué)參加跳高、跳遠(yuǎn)、鉛球項(xiàng)目的比賽．若每人都選擇其中兩個(gè)項(xiàng)目，則有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同的概率是________(結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示)． 答案　 解析　三位同學(xué)每人選擇三項(xiàng)中的兩項(xiàng)有CCC＝333＝27(種)選法， 其中有且僅有兩人所選項(xiàng)目完全相同的有CCC＝332＝18(種)選法． ∴所求概率為P＝＝. 題型三　古典概型的綜合應(yīng)用 例3　為了解學(xué)生身高情況，某校以10%的比例對全校700名學(xué)生按性別進(jìn)行分層抽樣調(diào)查，測得身高情況的統(tǒng)計(jì)圖如下： (1)估計(jì)該校男生的人數(shù)； (2)估計(jì)該校學(xué)生身高在170～185 cm之間的概率； (3)從樣本中身高在180～190 cm之間的男生中任選2人，求至少有1人身高在185～190 cm之間的概率． 思維啟迪：先根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖確定樣本的男生人數(shù)，身高在170～185 cm之間的人數(shù)和概率，再確定身高在180～190 cm之間的人數(shù)，轉(zhuǎn)化成古典概型問題． 解　(1)樣本中男生人數(shù)為40，由分層抽樣比例為10%估計(jì)全校男生人數(shù)為400. (2)由統(tǒng)計(jì)圖知，樣本中身高在170～185 cm之間的學(xué)生有14＋13＋4＋3＋1＝35(人)，樣本容量為70，所以樣本中學(xué)生身高在170～185 cm之間的頻率f＝＝0.5.故由f估計(jì)該校學(xué)生身高在170～185 cm之間的概率P＝0.5. (3)樣本中身高在180～185 cm之間的男生有4人，設(shè)其編號(hào)為①②③④，樣本中身高在185～190 cm之間的男生有2人，設(shè)其編號(hào)為⑤⑥. 從上述6人中任選2人的樹狀圖為 故從樣本中身高在180～190 cm之間的男生中任選2人的所有可能結(jié)果數(shù)為15，至少有1人身高在185～190 cm之間的可能結(jié)果數(shù)為9，因此，所求概率P＝＝0.6. 探究提高　有關(guān)古典概型與統(tǒng)計(jì)結(jié)合的題型是高考考查概率的一個(gè)重要題型，已成為高考考查的熱點(diǎn)，概率與統(tǒng)計(jì)結(jié)合題，無論是直接描述還是利用概率分布表、分布直方圖、莖葉圖等給出信息，只需要能夠從題中提煉出需要的信息，則此類問題即可解決． 　一汽車廠生產(chǎn)A，B，C三類轎車，每類轎車均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號(hào)，某月的產(chǎn)量如下表(單位：輛)： 轎車A 轎車B 轎車C 舒適型 100 150 z 標(biāo)準(zhǔn)型 300 450 600 按類用分層抽樣的方法在這個(gè)月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中有A類轎車10輛． (1)求z的值； (2)用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個(gè)容量為5的樣本．將該樣本看成一個(gè)總體，從中任取2輛，求至少有1輛舒適型轎車的概率； (3)用隨機(jī)抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛，經(jīng)檢測它們的得分如下： 9．4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2，把這8輛轎車的得分看成一個(gè)總體，從中任取一個(gè)數(shù)，求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5的概率． 解　(1)設(shè)該廠這個(gè)月共生產(chǎn)轎車n輛， 由題意得＝，所以n＝2 000， 則z＝2 000－100－300－150－450－600＝400. (2)設(shè)所抽樣本中有a輛舒適型轎車， 由題意得＝，則a＝2. 因此抽取的容量為5的樣本中，有2輛舒適型轎車，3輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車．用A1，A2表示2輛舒適型轎車，用B1，B2，B3表示3輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車，用E表示事件“在該樣本中任取2輛，其中至少有1輛舒適型轎車”，則基本事件空間包含的基本事件有 (A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10個(gè)． 事件E包含的基本事件有 (A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7個(gè)． 故P(E)＝，即所求概率為. (3)樣本平均數(shù)＝(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9. 設(shè)D表示事件“從樣本中任取一個(gè)數(shù)，該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5”，則基本事件空間中有8個(gè)基本事件，事件D包含的基本事件有9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0，共6個(gè)，所以P(D)＝＝，即所求概率為. 六審細(xì)節(jié)更完善 典例：(12分)一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀大小完全相同的球，球的編號(hào)分別為1,2,3,4. (1)從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球，求取出的球的編號(hào)之和不大于4的概率； (2)先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為n，求n0且≤1，即a>0且2b≤a. 若a＝1，則b＝－2，－1；若a＝2，則b＝－2，－1,1； 若a＝3，則b＝－2，－1,1；若a＝4，則b＝－2，－1,1,2； 若a＝5，則b＝－2，－1,1,2. 故滿足題意的事件包含的基本事件的個(gè)數(shù)為2＋3＋3＋4＋4＝16. 因此所求概率為＝. B組　專項(xiàng)能力提升 (時(shí)間：25分鐘，滿分：43分) 一、選擇題(每小題5分，共15分) 1． 投擲兩顆骰子，得到其向上的點(diǎn)數(shù)分別為m和n，則復(fù)數(shù)(m＋ni)(n－mi)為實(shí)數(shù)的概率為 (　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　復(fù)數(shù)(m＋ni)(n－mi)＝2mn＋(n2－m2)i為實(shí)數(shù)，則n2－m2＝0?m＝n，而投擲兩顆骰子得到點(diǎn)數(shù)相同的情況只有6種，所以所求概率為＝. 2． 宋慶齡基金會(huì)計(jì)劃給西南某干旱地區(qū)援助，6家礦泉水企業(yè)參與了競標(biāo)．其中A企業(yè)來自浙江省，B，C兩家企業(yè)來自福建省，D，E，F(xiàn)三家企業(yè)來自河南省．此項(xiàng)援助計(jì)劃從兩家企業(yè)購水，假設(shè)每家企業(yè)中標(biāo)的概率相同．則在中標(biāo)的企業(yè)中，至少有一家來自河南省的概率是 (　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　在六家礦泉水企業(yè)中，選取兩家有15種情況，其中至少有一家企業(yè)來自河南的有12種情況，故所求概率為. 3． 連擲兩次骰子分別得到點(diǎn)數(shù)m、n，則向量(m，n)與向量(－1,1)的夾角θ>90的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　∵(m，n)(－1,1)＝－m＋n<0，∴m>n. 基本事件總共有66＝36(個(gè))，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15(個(gè))． ∴P＝＝，故選A. 二、填空題(每小題5分，共15分) 4． (xx重慶)某藝校在一天的6節(jié)課中隨機(jī)安排語文、數(shù)學(xué)、外語三門文化課和其他三門藝術(shù)課各1節(jié)，則在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為 ________(用數(shù)字作答)． 答案　 解析　6節(jié)課隨機(jī)安排，共有A＝720(種)方法． 課表上相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課，分三類： 第1類：文化課之間沒有藝術(shù)課，有AA＝624＝144(種)． 第2類：文化課之間有1節(jié)藝術(shù)課，有ACAA＝6326＝216(種)． 第3類：文化課之間有2節(jié)藝術(shù)課，有AAA＝662＝72(種)． 共有144＋216＋72＝432(種)． 由古典概型概率公式得P＝＝. 5. 如圖在平行四邊形ABCD中，O是AC與BD的交點(diǎn)，P、Q、M、 N分別是線段OA、OB、OC、OD的中點(diǎn)．在A、P、M、C中任 取一點(diǎn)記為E，在B、Q、N、D中任取一點(diǎn)記為F.設(shè)G為滿足向 量＝＋的點(diǎn)，則在上述的點(diǎn)G組成的集合中的點(diǎn)，落在平行四邊形ABCD外(不 含邊界)的概率為________． 答案　 解析　基本事件的總數(shù)是44＝16，在＝＋中，當(dāng)＝＋，＝＋，＝＋，＝＋時(shí)，點(diǎn)G分別為該平行四邊形各邊的中點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)G在平行四邊形的邊界上，而其余情況的點(diǎn)G都在平行四邊形外，故所求的概率是1－＝. 6． 若集合A＝{a|a≤100，a＝3k，k∈N*}，集合B＝{b|b≤100，b＝2k，k∈N*}，在A∪B中隨機(jī)地選取一個(gè)元素，則所選取的元素恰好在A∩B中的概率為________． 答案　 解析　易知A＝{3,6,9，…，99}，B＝{2,4,6，…，100}， 則A∩B＝{6,12,18，…，96}，其中有元素16個(gè)． A∪B中元素共有33＋50－16＝67(個(gè))， ∴所求概率為. 三、解答題 7． (13分)(xx北京)近年來，某市為了促進(jìn)生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類，并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱．為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取了該市三類垃圾箱中總計(jì)1 000噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下(單位：噸)： “廚余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 廚余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60 (1)試估計(jì)廚余垃圾投放正確的概率． (2)試估計(jì)生活垃圾投放錯(cuò)誤的概率． (3)假設(shè)廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別為a，b，c，其中a>0，a＋b＋c＝600.當(dāng)數(shù)據(jù)a，b，c的方差s2最大時(shí)，寫出a，b，c的值(結(jié)論不要求證明)，并求此時(shí)s2的值． (注：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中為數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)) 解　(1)廚余垃圾投放正確的概率約為＝＝. (2)設(shè)生活垃圾投放錯(cuò)誤為事件A，則事件表示生活垃圾投放正確． 事件的概率約為“廚余垃圾”箱里廚余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量與“其他垃圾”箱里其他垃圾量的總和除以生活垃圾總量，即P()≈＝0.7， 所以P(A)約為1－0.7＝0.3. (3)當(dāng)a＝600，b＝c＝0時(shí)，s2取得最大值． 因?yàn)椋?a＋b＋c)＝200， 所以s2＝[(600－200)2＋(0－200)2＋(0－200)2] ＝80 000. 即s2的最大值為80 000.