2019高考數學二輪復習 第一篇 微型專題 微專題15 隨機變量及其應用練習 理.docx
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15 隨機變量及其應用 1.一個盒子中裝有12個乒乓球,其中9個沒有使用過的、3個已經使用過的,從盒中任取3個球來用,用完后裝回盒中,此時盒中已經使用過的球個數X是一個隨機變量,則P(X=4)的值為( ). A.1220 B.2755 C.27220 D.2155 解析? “X=4”表示從盒中取了2個已經使用過的球,1個沒有使用過的球,故P(X=4)=C32C91C123=27220. 答案? C 2.已知離散型隨機變量X的分布列為 X 1 2 3 P 35 310 110 則X的數學期望E(X)=( ). A.32 B.2 C.52 D.3 解析? 由數學期望公式可得E(X)=135+2310+3110=32. 答案? A 3.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(0,82),若P(X>2)=0.023,則P(-2≤X≤2)= . 解析? 因為μ=0,所以P(X>2)=P(X<-2)=0.023,所以P(-2≤X≤2)=1-20.023=0.954. 答案? 0.954 4.若隨機變量X~B(n,p),且E(X)=7,D(X)=6,則p= . 解析? 因為隨機變量X~B(n,p),且E(X)=7,D(X)=6,所以np=7,np(1-p)=6,解得p=17. 答案? 17 能力1 ? 求離散型隨機變量的分布列 【例1】 私家車的尾氣排放是造成霧霾天氣的重要因素之一,因此在生活中我們應該提倡低碳生活,少開私家車,盡量選擇綠色出行方式,為預防霧霾出一份力.為此,很多城市實施了機動車尾號限行,我市某報社為了解市區(qū)公眾對“車輛限行”的態(tài)度,隨機抽查了50人,將調查結果進行整理后制成下表: 年齡/歲 [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75] 頻數 5 10 15 10 5 5 贊成人數 4 6 9 6 3 4 (1)若從年齡在[15,25)和[25,35)這兩組的被調查者中各隨機選取2人進行追蹤調查,求恰有2人不贊成的概率; (2)在(1)的條件下,令選中的4人中不贊成“車輛限行”的人數為ξ,求隨機變量ξ的分布列. 解析? (1)由表知,年齡在[15,25)內的有5人,不贊成的有1人,年齡在[25,35)內的有10人,不贊成的有4人,則恰有2人不贊成的概率為 P=C41C52C41C61C102+C42C52C42C102=4102445+610645=2275. (2)ξ的所有可能取值為0,1,2,3. P(ξ=0)=C42C52C62C102=6101545=15, P(ξ=1)=C41C52C62C102+C42C52C41C61C102=4101545+6102445=3475, P(ξ=2)=2275, P(ξ=3)=C41C52C42C102=410645=475, ∴ξ的分布列是 ξ 0 1 2 3 P 15 3475 2275 475 離散型隨機變量分布列的求解步驟 (1)明取值:明確隨機變量的可能取值有哪些,且每一個取值所表示的意義. (2)求概率:要弄清楚隨機變量的概率類型,利用相關公式求出變量所對應的概率. (3)畫表格:按規(guī)范要求寫出分布列. (4)做檢驗:利用分布列的性質檢驗分布列是否正確. 已知2件次品和3件正品混放在一起,現需要通過檢測將其區(qū)分,每次隨機檢測一件產品,檢測后不放回,直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結束. (1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率; (2)已知每檢測一件產品需要費用100元,設X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用(單位:元),求X的分布列. 解析? (1)記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件A,則P(A)=A21A31A52=310. (2)X的可能取值為200,300,400. P(X=200)=A22A52=110, P(X=300)=A33+C21C31A22A53=310, P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300) =1-110-310=35. 故X的分布列為 X 200 300 400 P 110 310 35 能力2 ? 相互獨立事件同時發(fā)生的概率 【例2】 某企業(yè)有甲、乙兩個研發(fā)小組,他們研發(fā)新產品成功的概率分別為23和35.現安排甲組研發(fā)新產品A,乙組研發(fā)新產品B,設甲、乙兩組的研發(fā)相互獨立. (1)求至少有一種新產品研發(fā)成功的概率. (2)若新產品A研發(fā)成功,預計企業(yè)可獲利潤120萬元;若新產品B研發(fā)成功,預計企業(yè)可獲利潤100萬元.求該企業(yè)可獲利潤的分布列. 解析? 記E={甲組研發(fā)新產品成功},F={乙組研發(fā)新產品成功},由題設知P(E)=23,P(E)=13,P(F)=35,P(F)=25,且事件E與F,E與F,E與F,E與F都相互獨立. (1)記H={至少有一種新產品研發(fā)成功},則H=EF, 于是P(H)=P(E)P(F)=1325=215, 故所求的概率P(H)=1-P(H)=1-215=1315. (2)設企業(yè)可獲利潤為X(萬元),則X的可能取值為0,100,120,220, 因為P(X=0)=P(EF)=1325=215, P(X=100)=P(EF)=1335=15, P(X=120)=P(EF)=2325=415, P(X=220)=P(EF)=2335=25. 故所求的分布列為 X 0 100 120 220 P 215 15 415 25 (1)求解該類問題在于正確分析所求事件的構成,將其轉化為彼此互斥事件的和或相互獨立事件的積,然后利用相關公式進行計算. (2)求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的主要方法 ①利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解. ②正面計算較煩瑣(如求用“至少”表述的事件的概率)或難以入手時,可從其對立事件入手計算. 某中學籃球體育測試要求學生完成“立定投籃”和“三步上籃”兩項測試,“立定投籃”與“三步上籃”各有2次投籃機會,先進行“立定投籃”測試,如果合格才有機會進行“三步上籃”測試,為了節(jié)約時間,每項只需且必須投中一次即為合格.小明同學“立定投籃”的命中率為12,“三步上籃”的命中率為34,假設小明不放棄任何一次投籃機會且每次投籃是否命中互不影響. (1)求小明同學兩項測試合格的概率; (2)設測試過程中小明投籃的次數為ξ,求ξ的分布列. 解析? 設小明第i次“立定投籃”命中為事件Ai(i=1,2),第j次“三步上籃”命中為事件Bj(j=1,2), 依題意有P(Ai)=12(i=1,2),P(Bj)=34(j=1,2),“小明同學兩項測試合格”為事件C. (1)P(C)=P(A1A2)+P(A1A2B1B2)+P(A1B1B2) =P(A1)P(A2)+P(A1)P(A2)P(B1)P(B2)+P(A1)P(B1)P(B2) =1-122+1-12121-342+121-342=1964. ∴P(C)=1-1964=4564. (2)依題意知ξ=2,3,4, P(ξ=2)=P(A1B1)+P(A1A2)=P(A1)P(B1)+P(A1)P(A2)=58, P(ξ=3)=P(A1B1B2)+P(A1A2B1)+P(A1B1B2) =P(A1)P(B1)P(B2)+P(A1)P(A2)P(B1)+P(A1)P(B1)P(B2)=516, P(ξ=4)=P(A1A2B1)=P(A1)P(A2)P(B1)=116. 故投籃的次數ξ的分布列為 ξ 2 3 4 P 58 516 116 能力3 ? 獨立重復試驗與二項分布 【例3】 某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產情況,隨機抽取該流水線上的40件產品作為樣本,然后稱出它們的質量(單位:克),質量的分組區(qū)間為(490,495],(495,500],…,(510,515].由此得到樣本的頻率分布直方圖(如下圖). (1)根據頻率分布直方圖,求質量超過505克的產品數量; (2)在上述抽取的40件產品中任取2件,設X為質量超過505克的產品數量,求X的分布列; (3)用樣本估計總體,從該流水線上任取2件產品,設Y為質量超過505克的產品數量,求Y的分布列. 解析? (1)質量超過505克的產品的頻率為50.05+50.01=0.3, 故質量超過505克的產品數量為400.3=12(件). (2)質量超過505克的產品數量為12件,則質量未超過505克的產品數量為28件. 由題意知X的取值為0,1,2, X服從超幾何分布. ∴P(X=0)=C282C402=63130, P(X=1)=C121C281C402=2865, P(X=2)=C122C402=11130, ∴X的分布列為 X 0 1 2 P 63130 2865 11130 (3)根據樣本估計總體的思想,取一件產品,該產品的質量超過505克的概率為1240=310. 從流水線上任取2件產品互不影響,該問題可看成2次獨立重復試驗,質量超過505克的件數Y的可能取值為0,1,2,且Y~B2,310, P(Y=k)=C2k1-3102-k310k, ∴P(Y=0)=C207102=49100, P(Y=1)=C21310710=2150, P(Y=2)=C223102=9100. ∴Y的分布列為 Y 0 1 2 P 49100 2150 9100 利用獨立重復試驗概率公式可以簡化求概率的過程,但需要注意檢查該概率模型是否滿足公式P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k的三個條件:(1)在一次試驗中某事件A發(fā)生的概率是一個常數p;(2)n次試驗不僅是在完全相同的情況下進行的重復試驗,而且各次試驗的結果是相互獨立的;(3)該公式表示n次試驗中事件A恰好發(fā)生了k次的概率. 為了解一種植物果實的情況,隨機抽取一批該植物果實樣本測量重量(單位:克),按照[27.5,32.5),[32.5,37.5),[37.5,42.5),[42.5,47.5),[47.5,52.5]分為5組,其頻率分布直方圖如圖所示. (1)求圖中a的值. (2)估計這種植物果實重量的平均數x和方差s2(同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表). (3)已知這種植物果實重量不低于32.5克的為優(yōu)質果實,用樣本估計總體.若從這種植物果實中隨機抽取3個,其中優(yōu)質果實的個數為X,求X的分布列和數學期望E(X). 解析? (1)組距d=5,由5(0.02+0.04+0.075+a+0.015)=1得a=0.05. (2)各組中點值和相應的頻率依次為 中點值 30 35 40 45 50 頻率 0.1 0.2 0.375 0.25 0.075 x=300.1+350.2+400.375+450.25+500.075=40, s2=(-10)20.1+(-5)20.2+020.375+520.25+1020.075=28.75. (3)由已知,這種植物果實的優(yōu)質率p=0.9,且X~B(3,0.9), 故P(X=k)=C3k0.9k(1-0.9)3-k(k=0,1,2,3), X的分布列為 X 0 1 2 3 P 0.001 0.027 0.243 0.729 ∴E(X)=np=2.7. 能力4 ? 正態(tài)分布 【例4】 (1)已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,則P(0<ξ<4)=( ). A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 (2)在如圖所示的正方形中隨機投擲10000個點,則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(-1,1)的密度曲線的一部分)的點的個數的估計值為( ). 附:若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ
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