2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一篇 微型專題 微專題15 隨機(jī)變量及其應(yīng)用練習(xí) 理.docx

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15　隨機(jī)變量及其應(yīng)用 1.一個盒子中裝有12個乒乓球,其中9個沒有使用過的、3個已經(jīng)使用過的,從盒中任取3個球來用,用完后裝回盒中,此時盒中已經(jīng)使用過的球個數(shù)X是一個隨機(jī)變量,則P(X=4)的值為(　　). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.1220 B.2755 C.27220 D.2155 解析?　“X=4”表示從盒中取了2個已經(jīng)使用過的球,1個沒有使用過的球,故P(X=4)=C32C91C123=27220. 答案?　C 2.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為 X 1 2 3 P 35 310 110 則X的數(shù)學(xué)期望E(X)=(　　). A.32 B.2 C.52 D.3 解析?　由數(shù)學(xué)期望公式可得E(X)=135+2310+3110=32. 答案?　A 3.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0,82),若P(X>2)=0.023,則P(-2≤X≤2)=　　　　. 解析?　因為μ=0,所以P(X>2)=P(X<-2)=0.023,所以P(-2≤X≤2)=1-20.023=0.954. 答案?　0.954 4.若隨機(jī)變量X~B(n,p),且E(X)=7,D(X)=6,則p=　　　　. 解析?　因為隨機(jī)變量X~B(n,p),且E(X)=7,D(X)=6,所以np=7,np(1-p)=6,解得p=17. 答案?　17 能力1 ?　求離散型隨機(jī)變量的分布列 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】　私家車的尾氣排放是造成霧霾天氣的重要因素之一,因此在生活中我們應(yīng)該提倡低碳生活,少開私家車,盡量選擇綠色出行方式,為預(yù)防霧霾出一份力.為此,很多城市實施了機(jī)動車尾號限行,我市某報社為了解市區(qū)公眾對“車輛限行”的態(tài)度,隨機(jī)抽查了50人,將調(diào)查結(jié)果進(jìn)行整理后制成下表: 年齡/歲 [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75] 頻數(shù) 5 10 15 10 5 5 贊成人數(shù) 4 6 9 6 3 4 　　(1)若從年齡在[15,25)和[25,35)這兩組的被調(diào)查者中各隨機(jī)選取2人進(jìn)行追蹤調(diào)查,求恰有2人不贊成的概率; (2)在(1)的條件下,令選中的4人中不贊成“車輛限行”的人數(shù)為ξ,求隨機(jī)變量ξ的分布列. 解析?　(1)由表知,年齡在[15,25)內(nèi)的有5人,不贊成的有1人,年齡在[25,35)內(nèi)的有10人,不贊成的有4人,則恰有2人不贊成的概率為 P=C41C52C41C61C102+C42C52C42C102=4102445+610645=2275. (2)ξ的所有可能取值為0,1,2,3. P(ξ=0)=C42C52C62C102=6101545=15, P(ξ=1)=C41C52C62C102+C42C52C41C61C102=4101545+6102445=3475, P(ξ=2)=2275, P(ξ=3)=C41C52C42C102=410645=475, ∴ξ的分布列是 ξ 0 1 2 3 P 15 3475 2275 475 　　離散型隨機(jī)變量分布列的求解步驟 (1)明取值:明確隨機(jī)變量的可能取值有哪些,且每一個取值所表示的意義. (2)求概率:要弄清楚隨機(jī)變量的概率類型,利用相關(guān)公式求出變量所對應(yīng)的概率. (3)畫表格:按規(guī)范要求寫出分布列. (4)做檢驗:利用分布列的性質(zhì)檢驗分布列是否正確. 已知2件次品和3件正品混放在一起,現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分,每次隨機(jī)檢測一件產(chǎn)品,檢測后不放回,直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結(jié)束. (1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率; (2)已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用100元,設(shè)X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用(單位:元),求X的分布列. 解析?　(1)記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件A,則P(A)=A21A31A52=310. (2)X的可能取值為200,300,400. P(X=200)=A22A52=110, P(X=300)=A33+C21C31A22A53=310, P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300) =1-110-310=35. 故X的分布列為 X 200 300 400 P 110 310 35 能力2 ?　相互獨立事件同時發(fā)生的概率 　　【例2】　某企業(yè)有甲、乙兩個研發(fā)小組,他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為23和35.現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品A,乙組研發(fā)新產(chǎn)品B,設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨立. (1)求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率. (2)若新產(chǎn)品A研發(fā)成功,預(yù)計企業(yè)可獲利潤120萬元;若新產(chǎn)品B研發(fā)成功,預(yù)計企業(yè)可獲利潤100萬元.求該企業(yè)可獲利潤的分布列. 解析?　記E={甲組研發(fā)新產(chǎn)品成功},F={乙組研發(fā)新產(chǎn)品成功},由題設(shè)知P(E)=23,P(E)=13,P(F)=35,P(F)=25,且事件E與F,E與F,E與F,E與F都相互獨立. (1)記H={至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功},則H=EF, 于是P(H)=P(E)P(F)=1325=215, 故所求的概率P(H)=1-P(H)=1-215=1315. (2)設(shè)企業(yè)可獲利潤為X(萬元),則X的可能取值為0,100,120,220, 因為P(X=0)=P(EF)=1325=215, P(X=100)=P(EF)=1335=15, P(X=120)=P(EF)=2325=415, P(X=220)=P(EF)=2335=25. 故所求的分布列為 X 0 100 120 220 P 215 15 415 25 　　(1)求解該類問題在于正確分析所求事件的構(gòu)成,將其轉(zhuǎn)化為彼此互斥事件的和或相互獨立事件的積,然后利用相關(guān)公式進(jìn)行計算. (2)求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的主要方法 ①利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解. ②正面計算較煩瑣(如求用“至少”表述的事件的概率)或難以入手時,可從其對立事件入手計算. 某中學(xué)籃球體育測試要求學(xué)生完成“立定投籃”和“三步上籃”兩項測試,“立定投籃”與“三步上籃”各有2次投籃機(jī)會,先進(jìn)行“立定投籃”測試,如果合格才有機(jī)會進(jìn)行“三步上籃”測試,為了節(jié)約時間,每項只需且必須投中一次即為合格.小明同學(xué)“立定投籃”的命中率為12,“三步上籃”的命中率為34,假設(shè)小明不放棄任何一次投籃機(jī)會且每次投籃是否命中互不影響. (1)求小明同學(xué)兩項測試合格的概率; (2)設(shè)測試過程中小明投籃的次數(shù)為ξ,求ξ的分布列. 解析?　設(shè)小明第i次“立定投籃”命中為事件Ai(i=1,2),第j次“三步上籃”命中為事件Bj(j=1,2), 依題意有P(Ai)=12(i=1,2),P(Bj)=34(j=1,2),“小明同學(xué)兩項測試合格”為事件C. (1)P(C)=P(A1A2)+P(A1A2B1B2)+P(A1B1B2) =P(A1)P(A2)+P(A1)P(A2)P(B1)P(B2)+P(A1)P(B1)P(B2) =1-122+1-12121-342+121-342=1964. ∴P(C)=1-1964=4564. (2)依題意知ξ=2,3,4, P(ξ=2)=P(A1B1)+P(A1A2)=P(A1)P(B1)+P(A1)P(A2)=58, P(ξ=3)=P(A1B1B2)+P(A1A2B1)+P(A1B1B2) =P(A1)P(B1)P(B2)+P(A1)P(A2)P(B1)+P(A1)P(B1)P(B2)=516, P(ξ=4)=P(A1A2B1)=P(A1)P(A2)P(B1)=116. 故投籃的次數(shù)ξ的分布列為 ξ 2 3 4 P 58 516 116 能力3 ?　獨立重復(fù)試驗與二項分布 　　【例3】　某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況,隨機(jī)抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本,然后稱出它們的質(zhì)量(單位:克),質(zhì)量的分組區(qū)間為(490,495],(495,500],…,(510,515].由此得到樣本的頻率分布直方圖(如下圖). (1)根據(jù)頻率分布直方圖,求質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量; (2)在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件,設(shè)X為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量,求X的分布列; (3)用樣本估計總體,從該流水線上任取2件產(chǎn)品,設(shè)Y為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量,求Y的分布列. 解析?　(1)質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品的頻率為50.05+50.01=0.3, 故質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為400.3=12(件). (2)質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為12件,則質(zhì)量未超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為28件. 由題意知X的取值為0,1,2, X服從超幾何分布. ∴P(X=0)=C282C402=63130, P(X=1)=C121C281C402=2865, P(X=2)=C122C402=11130, ∴X的分布列為 X 0 1 2 P 63130 2865 11130 　　(3)根據(jù)樣本估計總體的思想,取一件產(chǎn)品,該產(chǎn)品的質(zhì)量超過505克的概率為1240=310. 從流水線上任取2件產(chǎn)品互不影響,該問題可看成2次獨立重復(fù)試驗,質(zhì)量超過505克的件數(shù)Y的可能取值為0,1,2,且Y~B2,310, P(Y=k)=C2k1-3102-k310k, ∴P(Y=0)=C207102=49100, P(Y=1)=C21310710=2150, P(Y=2)=C223102=9100. ∴Y的分布列為 Y 0 1 2 P 49100 2150 9100 　　利用獨立重復(fù)試驗概率公式可以簡化求概率的過程,但需要注意檢查該概率模型是否滿足公式P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k的三個條件:(1)在一次試驗中某事件A發(fā)生的概率是一個常數(shù)p;(2)n次試驗不僅是在完全相同的情況下進(jìn)行的重復(fù)試驗,而且各次試驗的結(jié)果是相互獨立的;(3)該公式表示n次試驗中事件A恰好發(fā)生了k次的概率. 為了解一種植物果實的情況,隨機(jī)抽取一批該植物果實樣本測量重量(單位:克),按照[27.5,32.5),[32.5,37.5),[37.5,42.5),[42.5,47.5),[47.5,52.5]分為5組,其頻率分布直方圖如圖所示. (1)求圖中a的值. (2)估計這種植物果實重量的平均數(shù)x和方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表). (3)已知這種植物果實重量不低于32.5克的為優(yōu)質(zhì)果實,用樣本估計總體.若從這種植物果實中隨機(jī)抽取3個,其中優(yōu)質(zhì)果實的個數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X). 解析?　(1)組距d=5,由5(0.02+0.04+0.075+a+0.015)=1得a=0.05. (2)各組中點值和相應(yīng)的頻率依次為 中點值 30 35 40 45 50 頻率 0.1 0.2 0.375 0.25 0.075 　　x=300.1+350.2+400.375+450.25+500.075=40, s2=(-10)20.1+(-5)20.2+020.375+520.25+1020.075=28.75. (3)由已知,這種植物果實的優(yōu)質(zhì)率p=0.9,且X~B(3,0.9), 故P(X=k)=C3k0.9k(1-0.9)3-k(k=0,1,2,3), X的分布列為 X 0 1 2 3 P 0.001 0.027 0.243 0.729 　　∴E(X)=np=2.7. 能力4 ?　正態(tài)分布 　　【例4】　(1)已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,則P(0<ξ<4)=(　　). A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 (2)在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10000個點,則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(-1,1)的密度曲線的一部分)的點的個數(shù)的估計值為(　　). 附:若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ1.∵X~N(1,σ2),∴P(X>1)=12,故選C. 答案?　C 8.某居民小區(qū)有兩個相互獨立的安全防范系統(tǒng)A和B,系統(tǒng)A和系統(tǒng)B在任意時刻發(fā)生故障的概率分別為18和p,若在任意時刻恰有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為940,則p=(　　). A.110 B.215 C.16 D.15 解析?　由題意得18(1-p)+1-18p=940, ∴p=215,故選B. 答案?　B 9.甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽,約定每局勝者得1分,負(fù)者得0分,比賽進(jìn)行到有一人比對方多2分或打滿6局時停止.設(shè)甲在每局中獲勝的概率為23,乙在每局中獲勝的概率為13,且各局勝負(fù)相互獨立,則比賽停止時已打局?jǐn)?shù)X的期望E(X)為(　　). A.24181 B.26681 C.27481 D.670243 解析?　依題意,知X的所有可能值為2,4,6, 設(shè)每兩局比賽為一輪,則該輪結(jié)束時比賽停止的概率為232+132=59. 若該輪結(jié)束時比賽還將繼續(xù),則甲、乙在該輪中必是各得一分,此時,該輪比賽結(jié)果對下輪比賽是否停止沒有影響.從而有P(X=2)=59,P(X=4)=4959=2081,P(X=6)=492=1681, 故E(X)=259+42081+61681=26681. 答案?　B 二、填空題 10.若隨機(jī)變量X~N(μ,σ2),且P(X>5)=P(X<-1)=0.2,則P(25)=P(X<-1), ∴μ=5-12=2, ∴P(26.635, 所以有99%的把握認(rèn)為兩個分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異. (2)甲分廠優(yōu)質(zhì)品率=400500=0.8,乙分廠優(yōu)質(zhì)品率=360500=0.72, 所以甲分廠優(yōu)質(zhì)品率高. 甲分廠的500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù) x=1500(3010+4040+50115+60165+70120+8045+905)=60. (3)由(2)知μ=60,σ2=142, 甲分廠的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值X服從正態(tài)分布X~N(60,142), 又σ=142≈11.92, 則P(60-11.92

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