2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式 專題3.3.1 二元一次不等式（組）與平面區(qū)域試題 新人教A版必修5.doc

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3.3.1 二元一次不等式（組）與平面區(qū)域 1．二元一次不等式(組)及其解集的定義 （1）二元一次不等式的定義 我們把含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是______________的不等式稱為二元一次不等式． （2）二元一次不等式組的定義 我們把由幾個二元一次不等式組成的不等式組稱為二元一次不等式組． （3）二元一次不等式(組)的解集 滿足二元一次不等式(組)的x和y的取值構(gòu)成有序數(shù)對(x，y)，所有這樣的有序數(shù)對(x，y)構(gòu)成的集合稱為二元一次不等式(組)的解集． （4）二元一次不等式(組)的解集與平面直角坐標系內(nèi)的點之間的關(guān)系 有序數(shù)對可以看成直角坐標平面內(nèi)點的坐標，于是，二元一次不等式(組)的解集就可以看成直角坐標系內(nèi)的點構(gòu)成的集合． 2．二元一次不等式表示的平面區(qū)域 一般地，在平面直角坐標系中，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0表示直線Ax＋By＋C＝0某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域，我們把直線畫成______________，以表示區(qū)域不包括邊界．不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面區(qū)域包括邊界，把邊界畫成______________． 對于二元一次不等式的不同形式，其對應(yīng)的平面區(qū)域如下表： 二元一次不等式 Ax＋By＋C≥0 (A＞0，B＞0) Ax＋By＋C≤0 (A＞0，B＞0) Ax＋By＋C≥0 (A＞0，B＜0) Ax＋By＋C≤0 (A＞0，B＜0) 平面 區(qū)域 3．二元一次不等式組表示的平面區(qū)域 二元一次不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式表示的平面區(qū)域的______________，即各個不等式表示的平面區(qū)域的公共部分．不等式組表示的平面區(qū)域可能是一個多邊形區(qū)域，也可能是一個無界區(qū)域，還可能由幾個子區(qū)域合成，若不等式組的解集為，則它不表示任何區(qū)域． K知識參考答案： 1．1 2．虛線 實線 3．交集 K—重點 二元一次不等式(組)解集的定義及表示的平面區(qū)域 K—難點 點所在平面區(qū)域的判斷 K—易錯 明確不等式中等號的含義及平面區(qū)域的判斷 畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域 畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域的步驟： 第一步：直線定界，即畫出邊界Ax＋By＋C＝0，要注意是虛線還是實線； 第二步：特殊點定域，取某個特殊點(x0，y0)作為測試點，由Ax0＋By0＋C的符號就可以斷定Ax＋By＋C＞0表示的是直線Ax＋By＋C＝0哪一側(cè)的平面區(qū)域； 第三步，用陰影表示出平面區(qū)域． 對于Ax＋By＋C＞0(＜0)表示的平面區(qū)域，具體的定域方法如下表： 定域的方法 特殊點定域 在直線的一側(cè)選取一個特殊點，代入不等式，成立則在此側(cè)，不成立則在對面； 當(dāng)C≠0時，常選(0，0)作為特殊點；當(dāng)C＝0時，常選(0，1)或(1，0)作為特殊點 系數(shù) 定域 A的符號判定法 A的符號與Ax＋By＋C的符號相比，同右異左 B的符號判定法 B的符號與Ax＋By＋C的符號相比，同上異下 注：由A的符號判斷二元一次不等式表示的區(qū)域位置可簡記為“同右異左”(“同”表示A的符號與Ax＋By＋C的符號相同)；由B的符號判斷二元一次不等式表示的區(qū)域位置可簡記為“同上異下”（“同”表示B的符號與Ax＋By＋C的符號相同）．即只需由A或B的符號與Ax＋By＋C的符號的異同可直接確定平面區(qū)域． 畫出下列不等式表示的平面區(qū)域：（1）x＞y；（2）3x＋2y＞6；（3）5x＋2y－10≥0． 【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析． 【解析】（1）作直線x－y＝0(畫成實線)，取特殊點(1，0)，代入x－y有1＞0，故所求區(qū)域在點(1，0)所在的區(qū)域，即直線x－y＝0的右下方，如圖1中陰影部分所示． （2）作直線3x＋2y－6＝0(畫成虛線)，取特殊點(0，0)，代入3x＋2y－6有－6＜0，故所求區(qū)域在點(0，0)所在區(qū)域的另一側(cè)，即直線3x＋2y－6＝0的右上方，如圖2中陰影部分所示． （3）作直線5x＋2y－10＝0(畫成實線)，取特殊點(0，0)，代入5x＋2y－10有－10＜0，故所求區(qū)域在點(0，0)所在區(qū)域的另一側(cè)，即直線5x＋2y－10＝0的右上方(含邊界)，如圖3中陰影部分所示． 圖1 圖2 圖3 【名師點睛】一般情況下，對于不是標準形式的二元一次不等式，要作出它所表示的平面區(qū)域，可以先把它化成標準形式(形如Ax＋By＋C，保證A＞0)，再作圖． 畫二元一次不等式組表示的平面區(qū)域 畫二元一次不等式組表示的平面區(qū)域的步驟： （1）畫線：畫出各不等式對應(yīng)的直線，注意根據(jù)不等號的特征確定相應(yīng)直線是畫成虛線還是畫成實線． （2）定域：根據(jù)特殊點或x，y的系數(shù)確定各不等式表示的區(qū)域，不等式組表示的區(qū)域由以上區(qū)域的公共部分構(gòu)成． （1）畫出不等式組表示的平面區(qū)域； （2）求由直線x＋y＋1＝0，2x＋4y＋1＝0和4x＋2y＋1＝0圍成的三角形區(qū)域(包括邊界)表示的不等式組． 【答案】（1）見解析；（2）見解析． （2）畫出三條直線，并用陰影表示三角形區(qū)域，如圖2中陰影部分所示． 取原點O(0，0)，并代入x＋y＋1得1＞0；代入2x＋4y＋1得1＞0；代入4x＋2y＋1得1＞0． 結(jié)合圖形可知，三角形區(qū)域用不等式組可表示為． 圖1 圖2 【名師點睛】（1）要作出不等式組表示的平面區(qū)域，可以先畫出相應(yīng)的直線，然后代入特殊點進行驗證． （2）給出直線方程，要求用不等式組表示它們圍成的平面區(qū)域，只需在這些直線所圍成的區(qū)域內(nèi)(或區(qū)域外)任取一點(不在這些直線上)，利用其坐標分別確定相應(yīng)的不等式，進而得到相應(yīng)的不等式組． （1）畫出不等式表示的平面區(qū)域； （2）畫出不等式表示的平面區(qū)域． 【答案】（1）見解析；（2）見解析． 圖1 圖2 【名師點睛】若題設(shè)條件涉及的不等式組不是標準的二元一次不等式組，則要先根據(jù)相關(guān)的運算法則進行轉(zhuǎn)化．高次不等式、絕對值不等式及雙向不等式都可以轉(zhuǎn)化為不等式組，從而畫出這些不等式組表示的平面區(qū)域．對于含絕對值的不等式表示的平面區(qū)域的作法：先分情況討論去掉絕對值符號，從而把含絕對值的不等式轉(zhuǎn)化為一般的二元一次不等式（組），然后按照“直線定界，特殊點定域”的方法作出所求的平面區(qū)域． 點與平面區(qū)域的位置關(guān)系 （1）判斷所給點是否在二元一次不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi)，就是將點的坐標代入二元一次不等式．若不等式成立，則點在二元一次不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi)，否則就不在二元一次不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi)． （2）由點與平面區(qū)域的關(guān)系可得：若直線l：Ax＋By＋C＝0(A，B不全為0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，則當(dāng)點M，N在直線l同側(cè)時，(Ax1＋By1＋C )(Ax2＋By2＋C)＞0；當(dāng)點M，N在直線l的異側(cè)時，(Ax1＋By1＋C )(Ax2＋By2＋C)＜0．上述結(jié)論可概括為“同側(cè)同號，異側(cè)異號”． （1）若點P(m，1)到直線x－y＋1＝0的距離為，且點P在不等式2x＋y－3＜0表示的平面區(qū)域內(nèi)，則m＝____________； （2）若不等式|x＋2y＋c|＜10表示的平面區(qū)域總包含點(1，1)與點(2，3)，則c的取值范圍是____________； （3）若不等式組表示的平面區(qū)域與直線y＝a(x＋1)有公共點，則實數(shù)a的取值范圍是 ____________． 【答案】（1）－2；（2）(－13，2)；（3）． （2）因為不等式|x＋2y＋c|＜10表示的平面區(qū)域總包含點(1，1)與點(2，3)， 所以|1＋2＋c|＜10且|2＋23＋c|＜10，即|3＋c|＜10且|8＋c|＜10， 即－10＜3＋c＜10且－10＜8＋c＜10，即－13＜c＜7且－18＜c＜2，即－13＜c＜2． （3）題中不等式組所表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分（含邊界）所示， 且A(1，1)，B(0，4)，C(0，)，直線y＝a(x＋1)恒過點P(－1，0)，且斜率為a， 由斜率公式可知，， 若直線y＝a(x＋1)與圖中陰影區(qū)域有公共點，結(jié)合圖形可得≤a≤4． 【名師點睛】點與平面的位置關(guān)系主要有兩種：點在區(qū)域內(nèi)、點在區(qū)域外． （1）點在區(qū)域內(nèi)：將點的坐標代入不等式，不等式成立； （2）點在區(qū)域外：將點的坐標代入不等式，不等式不成立． 平面區(qū)域的面積問題 求平面區(qū)域面積的步驟： （1）畫出不等式組表示的平面區(qū)域； （2）判斷平面區(qū)域的形狀（三角形區(qū)域是比較簡單的情況），求出各邊界交點的坐標； （3）若圖形為規(guī)則圖形，則直接利用面積公式求解；若圖形為不規(guī)則圖形，則運用割補法計算平面區(qū)域的面積，其中涉及距離問題時常常用到點到直線的距離公式． （1）不等式組表示的平面區(qū)域的面積是____________； （2）若不等式組表示的平面區(qū)域被直線y＝kx＋2分成面積相等的兩部分，則k的值為____________． 【答案】（1）5；（2）． 【解析】（1）原不等式組等價于或． 分別作出以上兩個不等式組表示的平面區(qū)域，如圖1中陰影部分所示， 其中點A(0，1)，B(－2，3)，C(－2，－1)，D(1，0)，E(1，2)， 于是所求面積． （2）顯然直線y＝kx＋2恒過點(0，2)，不等式組表示的平面區(qū)域如圖2中陰影部分所示， 易得A(，)，B(0，6)，C(0，2)． 方法2：因為不等式組表示的平面區(qū)域被直線y＝kx＋2分成面積相等的兩部分， 所以點D為線段AB的中點，即D(，)， 故直線y＝kx＋2的斜率等于直線CD的斜率，所以k＝． 圖1 圖2 【名師點睛】解決含參的探索問題，關(guān)鍵是回歸解析幾何的本質(zhì)特征上來，一方面要抓住平面區(qū)域的幾何特征，另一方面要把握住直線的特征． 二元一次不等式組表示平面區(qū)域的實際應(yīng)用 用平面區(qū)域來表示實際問題相關(guān)量的取值范圍的步驟： （1）根據(jù)問題的需要，選取起關(guān)鍵作用、關(guān)聯(lián)較多的兩個量用字母表示； （2）把問題中所有的量都用這兩個字母表示出來； （3）由實際問題中有關(guān)的限制條件或由問題中所有量均有實際意義寫出所有的不等式； （4）把由這些不等式所組成的不等式組用平面區(qū)域表示出來即可． 配制A，B兩種藥品，需要甲、乙兩種原料，已知配一劑A種藥品需甲原料3 g、乙原料5 g；配一劑B種藥品需甲原料5 g、乙原料4 g．今有甲原料20 g、乙原料25 g．若A，B兩種藥品至少各配一劑，問共有多少種不同的配制方法? 【答案】共有8種不同的配制方法． 【解析】設(shè)A，B兩種藥品分別配x劑、y劑（x，y）．由題意得下表： 甲原料 乙原料 A藥品 3 g 5 g B藥品 5 g 4 g 合計 20 g 25 g 則．作出平面區(qū)域，如上圖中陰影部分所示． 因為x，y，所以區(qū)域內(nèi)的所有整點（橫坐標、縱坐標都是整數(shù)的點）為(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，共8個， 所以在至少各配一劑的情況下，共有8種不同的配制方法． 【名師點睛】（1）由實際問題構(gòu)建不等式組時，必須考慮到所有的限制條件，不能遺漏；（2）尋找整數(shù)解的方法：先作出不等式（組）表示的平面區(qū)域，然后在其內(nèi)部，取x（或y）為整數(shù)去尋找y（或x）的可能整數(shù)值來獲取整數(shù)解． 忽略等號的含義而出錯 畫出不等式組表示的平面區(qū)域． 【錯解】先畫直線x＋y－3＝0和x－y－3＝0，取點(0，0)，代入x＋y－3，得－3＜0， 所以不等式x＋y－3≤0表示直線x＋y－3＝0左下方的點的集合（包括邊界）． 取點(0，0)，代入x－y－3，得－3＜0，所以不等式x－y－3＜0表示直線x－y－3＝0左上方的點的集合． 所以不等式組表示的平面區(qū)域如圖1中陰影部分所示． 【錯因分析】錯解中直線x－y－3＝0應(yīng)畫成虛線，且表示的平面區(qū)域畫錯，應(yīng)為兩個不等式表示的平面區(qū)域的公共部分． 【名師點睛】對于二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(＜0，≥0，≤0)表示的平面區(qū)域，一定要明確每一個字母和符號的含義及對所表示的平面區(qū)域的影響，否則容易導(dǎo)致錯誤． 1．不等式表示的平面區(qū)域在直線的 A．右上方 B．右下方 C．左上方 D．左下方 2．在平面直角坐標系中，可表示滿足不等式的點的集合（用陰影部分來表示）的是 A B C D 3．已知點E(0，0)，F(xiàn)(1，1)，G(，0)，則在3x＋2y－1≥0表示的平面區(qū)域內(nèi)的點是 A．E，F(xiàn) B．E，G C．F，G D．F 4．在平面直角坐標系中，不等式組表示的平面區(qū)域的面積為 A． B． C． D． 5．在平面直角坐標系中，若點(－2，t)在直線x－2y＋4＝0的左上方，則t的取值范圍是 A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．[1，＋∞) D．(0，1) 6．曲線與直線圍成一個三角形區(qū)域，表示該區(qū)域的不等式組是 A． B． C． D． 7．不等式組表示的平面區(qū)域的面積是_______________． 8．若關(guān)于，的不等式組表示的平面區(qū)域是一個直角三角形，則實數(shù)的值為 _______________． 9．若不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形區(qū)域，則m的取值范圍為_______________． 10．在平面直角坐標系中，畫出下列二元一次不等式表示的平面區(qū)域： （1）； （2）； （3）．  11．某家具廠制造甲、乙兩種型號的桌子，每張桌子需木工和漆工兩道工序完成．已知木工做一張甲、乙型號的桌子分別需要和，漆工油漆一張甲、乙型號的桌子分別需要和．又木工、漆工每天工作分別不得超過和．請列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域． 12．若為不等式組表示的平面區(qū)域，則當(dāng)從連續(xù)變化到1時，動直線掃過中的那部分區(qū)域的面積為 A． B． C． D． 13．設(shè)集合A＝{(x，y)｜x，y，1－x－y是三角形的三邊長}，則A所表示的平面區(qū)域（不含邊界的陰影部分）是 14．若不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形，則的取值范圍是 A． B． C． D．或 15．若函數(shù)圖象上存在點滿足約束條件則實數(shù)的最大值為 A． B． C． D． 16．已知不等式組表示的平面區(qū)域為，過區(qū)域中的任意一個點，作圓的兩條切線且切點分別為、，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，的值為 A． B． C． D． 17．點P(a，3)到直線4x－3y＋1＝0的距離等于4，且在不等式2x＋y＜3表示的平面區(qū)域內(nèi)，則點P的坐標為______________． 18．在平面直角坐標系中，不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為______________． 19．若不等式組表示的平面區(qū)域為M，則當(dāng)a從－2連續(xù)變化到1時，動直線x＋y－a＝0掃過區(qū)域M中的那部分區(qū)域的面積為______________． 20．已知不等式組表示的平面區(qū)域為，若直線與平面區(qū)域有公共點，則的取值范圍是_______________． 21．（1）畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，并求其面積； （2）求不等式組所表示的平面區(qū)域的面積大小． \ 22．（2015新課標全國I理）若x，y滿足約束條件，則的最大值為_______________． 23．（2016天津文節(jié)選）某化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，需要A，B，C三種主要原料．生產(chǎn)1車皮甲種肥料和生產(chǎn)1車皮乙種肥料所需三種原料的噸數(shù)如下表所示： 現(xiàn)有A種原料200噸，B種原料360噸，C種原料300噸，在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)甲乙兩種肥料．分別用x，y表示生產(chǎn)甲、乙兩種肥料的車皮數(shù)．用x，y列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域． 24．（2017天津文節(jié)選）電視臺播放甲、乙兩套連續(xù)劇，每次播放連續(xù)劇時，需要播放廣告．已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時，連續(xù)劇播放時長、廣告播放時長、收視人次如下表所示： 連續(xù)劇播放時長（分鐘） 廣告播放時長（分鐘） 收視人次（萬） 甲 70 5 60 乙 60 5 25 已知電視臺每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時間不多于600分鐘，廣告的總播放時間不少于30分鐘，且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍．分別用，表示每周計劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù)．用，列出滿足題目條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域．  1．【答案】B 【解析】易知點在直線的右下方，且點滿足不等式，所以不等式表示的平面區(qū)域在直線的右下方．故選B． 4．【答案】B 【解析】不等式組表示的平面區(qū)域為如圖所示的三角形ABC及其內(nèi)部．可得，，，顯然三角形的面積為．故選B． 5．【答案】B 【解析】對于直線x－2y＋4＝0，令x＝－2，則y＝1，則點(－2，1)在直線x－2y＋4＝0上， 又點(－2，t)在直線x－2y＋4＝0的左上方，則t＞1，故選B． 6．【答案】A 【解析】曲線與直線圍成一個三角形區(qū)域，如下圖中陰影部分所示： 所以表示該區(qū)域的不等式組是故選A． 7．【答案】 【解析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，如下圖中陰影部分所示： 所以平面區(qū)域的面積． 圖1 圖2 9．【答案】(0，2]∪(，＋∞) 【解析】不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分(及其內(nèi)部)所示． 作直線l：x＋y＝0，將l向上平移，當(dāng)過點B(2，0)時，原不等式組仍圍成一個含點B的三角形區(qū)域，此時0＜m≤2；將l向上平移至過點A(，)，當(dāng)繼續(xù)向上平移時，原不等式組圍成一個含點A的三角形區(qū)域，此時m＞．綜上，m的取值范圍為(0，2]∪(，＋∞)． 10．【答案】見解析． 【解析】（1）表示的平面區(qū)域為如圖（1）所示的陰影部分(不包括邊界)． （2）表示的平面區(qū)域為如圖（2）所示的陰影部分(包括邊界)． （3）表示直線下方的區(qū)域，如圖（3）所示的陰影部分(不包括邊界)． 11．【答案】見解析． 分別畫出不等式組中各不等式表示的平面區(qū)域，然后取交集，如圖中的陰影部分所示，生產(chǎn)條件是圖中陰影部分的整數(shù)點所表示的條件． 12．【答案】D 【解析】區(qū)域是如圖中△及其內(nèi)部，它的面積為，當(dāng)從連續(xù)變化到時，動直線掃過中的那部分區(qū)域為圖中四邊形，它的面積為．故選D． 13．【答案】A 【解析】由已知條件可得且， 即且，即，易得其表示的平面區(qū)域如選項A中的陰影部分所示． 14．【答案】D 15．【答案】B 【解析】由約束條件作出其可行域（如下圖中陰影部分所示），由圖可知當(dāng)直線經(jīng)過函數(shù)的圖象與直線的交點時取得最大值，即得，解得，即的最大值為．故選B． 16．【答案】B 【解析】不等式組表示的平面區(qū)域為如下圖所示的邊界及內(nèi)部的點，由圖可知，當(dāng)點在線段上，且時，的面積最小，這時，又，，所以則，所以，故選B． 18．【答案】 【解析】不等式組表示的平面區(qū)域是如圖所示的及其內(nèi)部，其中A(0，1)，B(－1，－2)，C，其面積等于． 19．【答案】 【解析】如圖所示，M為所表示的區(qū)域， 而動直線x＋y＝a掃過M中的那部分區(qū)域為四邊形BOCD，而B(－2，0)，O(0，0)，C(0，1)，D(，)，E(0，2)，為直角三角形．故． 20．【答案】 【解析】不等式組對應(yīng)的可行域為直線圍成的三角形區(qū)域，頂點為 ，直線過定點，斜率為，當(dāng)直線過點時斜率取得最大值，過點時斜率取得最小值，所以所求范圍為． 21．【答案】見解析． （2）可將原不等式組分解成如下兩個不等式組： ①② 上述兩個不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示，所圍成的面積． 22．【答案】3 【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，由斜率的意義知，表示平面區(qū)域內(nèi)的點與原點連線的斜率，由圖可知，點A(1，3)與原點連線的斜率最大，故的最大值為3． 23．【答案】，平面區(qū)域見解析． 24．【答案】，平面區(qū)域見解析． 【思路分析】根據(jù)甲、乙連續(xù)劇總的播放時間不多于600分鐘，可得，根據(jù)廣告時間不少于30分鐘，得到，根據(jù)甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍，可得，同時注意，需滿足，這一隱含條件，建立不等式組，畫出平面區(qū)域． 【解析】由已知，滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為，即． 該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為下圖中陰影部分內(nèi)的整點（包括邊界）．