不定積分

1、1第三章 一元函數積分學 (不定積分)一. 求下列不定積分:1. dxx1ln2解. l2 cxxd21ln4l1ln22. cxdxx 22 art2arctarct1arctn3. osi)os(i2解. cxxddxx 22 os1incos1insic1in)c1(i4. )(8d解. 方法一: 令 , tx1 cttdtxd )1ln(81)1( 887828= cx8ln方法二: dxxdxd)1()1()1( 87878= =cx)ln(|l88 cx81ln5 dxdxcosi12i2)sin(2cosin1dxin1cosi12xxx 2cos2sin)(22tan1t2|cosin1|l2 xdxxc|l|i|l二. 求下列不定積分:1. 2)1(2xxd解. 1)()1()( 222 xdxx txan令 tdseco2=ccttdsinsico2。

2、,1,5.2 求不定積分的幾種基本方法,一、 第一類換元法（湊微分法）,.,先看下例：,例1 求,解,設,則,.,2,一般地，如果,是,的一個原函數，則,而如果,又是另一個變量,的函數,且,可微，那么根據復合函數的微分法，有,由此得,.,3,是具有原函數,于是有如下定理：,定理1 設,可導，則,有換元公式,（5-2）,由此可見，一般地，如果積分,不能直接,利用利用基本積分公式計算，而其被積表達式,能表示為,的形式，且,較易計算，那么可令,.,4,代入后有,這樣就得到了,的原函數.這種積分稱為第一類換元法.,由于在積分過程中，先要從被積表達式中湊出一個積分,。

3、微 積 分 (下),微積分,微分,積分,1,刻畫函數 的變化率,計算： 求導數、求微分,關于本門課程的學習方法:,1）課前預習（前一天通讀下次要講的內容）.,2）認真聽講（提倡超前的動腦思維）.,3）課后復習（弄懂每一個細節(jié),并適當看一些參考書,幫助并加深理解該講的內容）.,“成功就是簡單的事情反復做”,李開復,花時間學習！,最好的學習方法,奧巴馬的同學，曾任微軟中國研究院院長、Google全球副總裁兼中國區(qū)總裁,4）完成作業(yè)（要獨立完成,可以討論或詢問,但切忌抄襲）.,吳巧梅老師,5）小結（總結所學內容、歸納方法、寫出體會).,3,一道有意義。

4、第四章,微分法:,積分法:,互逆運算,不定積分,1,二、 基本積分表,三、不定積分的性質,一、 原函數與不定積分的概念,第一節(jié),不定積分的概念與性質,第四章,2,一、 原函數與不定積分的概念,引例: 一個質量為 m 的質點,下沿直線運動 ,因此問題轉化為:,已知,求,在變力,試求質點的運動速度,根據牛頓第二定律,加速度,定義 1 . 若在區(qū)間 I 上定義的兩個函數 F (x) 及 f (x),滿足,在區(qū)間 I 上的一個原函數 .,則稱 F (x) 為f (x),如引例中,的原函數有,3,問題:,1. 在什么條件下, 一個函數的原函數存在 ?,2. 若原函數存在, 它如何表示 ?,定理1.,存在原函。

5、第四章,微分法:,積分法:,互逆運算,不定積分,1,二、 基本積分表,三、不定積分的性質,一、 原函數與不定積分的概念,第一節(jié),不定積分的概念與性質,第四章,2,一、 原函數與不定積分的概念,引例: 一個質量為 m 的質點,下沿直線運動 ,因此問題轉化為:,已知,求,在變力,試求質點的運動速度,根據牛頓第二定律,加速度,定義 1 . 若在區(qū)間 I 上定義的兩個函數 F (x) 及 f (x),滿足,在區(qū)間 I 上的一個原函數 .,則稱 F (x) 為f (x),如引例中,的原函數有,3,問題:,1. 在什么條件下, 一個函數的原函數存在 ?,2. 若原函數存在, 它如何表示 ?,定理1.,存在原函。

6、______________________________________________________________________________________________________________第四章 不定積分一、 基本要求：1、 理解原函數與不定積分的概念；2、 掌握不定積分的性質和了解不定積分的幾何意義。二、 授課內容：4-1 原函數與不定積分一、 原函數定義1 如果對任一，都有或 則稱為在區(qū)間I 上的原函數。例如：，即是的原函數。，即是的原函數。原函數存在定理：如果函數在區(qū)間I 上連續(xù)，則在區(qū)間I 上一定有原函數，即存在區(qū)間I 上的可導函數，使得對任一，有。注1：如果有一個原函數，則就有無窮多個。

7、不定積分解題方法總結摘要：在微分學中，不定積分是定積分、二重積分等的基礎，學好不定積分十分重要。然而在學習過程中發(fā)現不定積分不像微分那樣直觀和“有章可循”。本文論述了筆者在學習過程中對不定積分解題方法的歸納和總結。關鍵詞：不定積分；總結；解題方法不定積分看似形式多樣，變幻莫測，但并不是毫無解題規(guī)律可言。本文所總結的是一般規(guī)律，并非所有相似題型都適用，具體情況仍需要具體分析。1. 利用基本公式。（這就不多說了）2. 第一類換元法。（湊微分）設f()具有原函數F()。則其中可微。用湊微分法求解不定積分時，首先要。

8、第5章 不定積分,5.1 原函數與不定積分的概念 一、原函數與不定積分 通過對求導和微分的學習，我們可以從一個函數 yf(x)出發(fā)，去求它的導數f(x) 那么，我們能不能從一個函數的導數f(x)出發(fā)， 反過來去求它是哪一個函數(原函數)的導數呢? 定義 已知f(x)是定義在某區(qū)間上的一個函數，如果存在函數F(x)，使得在該區(qū)間上的任何一點x處都有F(x)f(x)，那么稱函數F(x)為函數f(x)在該區(qū)間上的一個原函數。,例1 求下列函數的一個原函數： f(x)2x f(x)cosx 解：(x2)2x x2是函數2x的一個原函數 (sinx)cosx sinx是函數cosx的一個原函數 這里為什么要強。

9、習題課,一、 求不定積分的基本方法,二、幾種特殊類型的積分,不定積分的計算方法,第四章,一、 求不定積分的基本方法,1. 直接積分法,通過簡單變形, 利用基本積分公式和運算法則 求不定積分的方法 .,2. 換元積分法,注意常見的換元積分類型, 如掌握 P205P206 公式(16) (24)的推導方法,(代換: ),3. 分部積分法,使用原則:,1) 由,易求出 v ;,2),比,好求 .,一般經驗: 按“反, 對, 冪, 指 , 三” 的順序,排前者取為 u ,排后者取為,計算格式: 列表計算,多次分部積分的 規(guī) 律,快速計算表格:,特別: 當 u 為 n 次多項式時,計算大為簡便 .,例1. 求,解:,。

10、一、不定積分的基本公式,第四章 不定積分,第二節(jié) 不定積分的基本公式和運 算法則 直接積分法,二、不定積分的基本運算法則,三、直接積分法,不定積分基本公式表,當 x 0 時，,所以,當 x 0 時，,所以,綜合以上兩種情況，當 x 0 時，得,例 1 求不定積分,解,例 2 求不定積分.,解 先把被積函數化為冪函數的形式，再利用基本積分公式，,(1),(2),得,例 3 求不定積分,解,法則 1 兩個函數的代數和的不定積分等于這兩個函數不定積分的代數和，,即,二、不定積分的基本運算法則,法則1 可推廣到有限多個函數代數和的情況，,即,根據不定積分定義，只須驗證。

11、二、第二類換元法,第二節(jié),一、第一類換元法,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,換元積分法,第四章,第二類換元法,第一類換元法,基本思路,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,設,可導,則有,一、第一類換元法 （P221）,定理1.,則有換元,公式,(也稱配元法,即, 湊微分法),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例1. 求,解: 令,則,故,原式 =,注: 當,時,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例2. （P222）求,解:,令,則,想到公式,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例3. （P223） 求,想到,解:,(直接配元),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例4. （P225）求,解:,機動 目錄 。

12、第二節(jié) 不定積分的基本公式和直 接積分法,一、不定積分的基本公式 二、直接積分法,實例,啟示,能否根據求導公式得出積分公式？,結論,既然積分運算和微分運算是互逆的，因此可以根據求導公式得出積分公式.,一、基本積分公式,1 常量函數：,2 冪函數：,3 指數函數,4 三角函數：,5 反三角函數,基本積分表 ,是常數);,說明：,簡寫為,依據微積分的互逆性以及導數計算基本公式，有上面的積分計算基本公式，它們是積分計算的基礎，所有積分的計算都必需依據其中的某一個才能得出結論，因此這些公式必須象求導基本公式一樣要熟記。,例1 求下列不定積。

13、第五章,微分法:,積分法:,互逆運算,不定積分,微分的逆運算,二、 基本積分公式,三、不定積分的性質 (運算法則),一、 原函數與不定積分的概念,第一節(jié),原函數與不定積分(直接積分法）,第五章,一、 原函數與不定積分的。

14、第四節(jié) 原函數與不定積分,一、主要定理和定義,二、典型例題,三、小結與思考,2,一、主要定理和定義,定理一,由定理一可知:,解析函數在單連通域內的積分只與起點和終點有關, (如下頁圖),1. 兩個主要定理:,3,4。

15、2019-2020年高中數學選修本(理科)不定積分的概念 教學目的 使學生理解不定積分的概念，符號及它的兩個性質 教學重點和難點 不定積分的概念及符號 教學過程 一、復習提問 問題1 若f(x)有一個原函數。