數(shù)學分析全套教案(附有答案的試卷20余套)

數(shù)學分析全套教案(附有答案的試卷20余套),數(shù)學分析,全套,教案,附有,答案,謎底,試卷,20 第七章 運用導數(shù)研究函數(shù)性態(tài) §7.1 函數(shù)的單調(diào)性與極值 第10次課 教學內(nèi)容：函數(shù)的單調(diào)性與極值的第一與第二充分條件 目的要求：掌握并熟練運用函數(shù)單調(diào)性的充要條件，掌握并熟練運用函數(shù)極值的第一和第二充分條件. 教學過程： 一 函數(shù)的單調(diào)性 Th7.1 若函數(shù)在內(nèi)可導，則在內(nèi)遞增（遞減）的充要條件是（），. 證 只證在內(nèi)遞增的情形. “” 設，且. 由拉格朗日中值定理，有 ，. 故. “”設，且. 由于在內(nèi)遞增，而有 . 故. 證畢. 例1 設，試討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 解 由, 故當時，，遞增；當時，，遞減；當時，，遞增. Th7.2若函數(shù)在內(nèi)可導，則在內(nèi)嚴格遞增（遞減）的充要條件是：①對一切，有（）， ②在內(nèi)的任何子區(qū)間上不恒等于零. 證 “” 設在內(nèi)嚴格遞增，則由Th7.1，對 ,有，即條件①滿足. 條件②亦必滿足，如若不然，在內(nèi)某子區(qū)間上恒等于零，則由拉格朗日中值定理的推論1，在該子區(qū)間上恒等于常數(shù)，與在內(nèi)嚴格遞增矛盾. “” 由①及Th7.1，函數(shù)在內(nèi)遞增，即，且，有. 往證必有. 如若不然，出現(xiàn)，那么對，因在內(nèi)遞增，有，即在上為常數(shù)，從而在內(nèi)恒等于零，與條件②矛盾. Cor. 設函數(shù)在內(nèi)可導，若（），則在內(nèi)嚴格遞增（嚴格遞減）. 注意 Cor的逆命題不正確，如：. 例2 證明：當時，. 證 設 ， 當時， 有. 又在連續(xù)，故在上嚴格遞增，從而當時，. 移項得 . 二 極值 Th7.3（極值的必要條件）若函數(shù)在可導，且在處取得極值，則. Th7.4（極值的第一充分條件）設在連續(xù)，在內(nèi)可導. ①若當時，當時，則在取極大值；②若當時，當時，則在取極小值. 證 只證①，同理可證②. 由條件及Th7.1，在內(nèi)遞增，在內(nèi)遞減，又在連續(xù)，故對，有. 即在取極大值. Th7.5（極值的第二充分條件）設在的某鄰域內(nèi)一階可導，在二階可導，且，. ①若，則在取極大值； ②若，則在取極小值. 證及有 . 存在：，使當時有與同號. ①若，則當時有，即.故在取極大值；②若，則當時有，即.在取極小值. 例3 求 的極值點和極值. 解 在上連續(xù)，當時，有 . 令，得穩(wěn)定點. + 不存在 - + ↗ ↘ ↗ 為的極大值點，極大值；為的極小值點，極小值. 作業(yè) P195. 1（2）（4），2（1）（3），3（1）（2）. §7.1 函數(shù)的單調(diào)性與極值 第11次課 教學內(nèi)容：函數(shù)的極值的第三充分條件 目的要求：掌握函數(shù)極值的第三充分條件，并熟練運用函數(shù)極值的第三充分條件. 教學過程： 復習可導函數(shù)單調(diào)的充要條件，復習可導函數(shù)取極值的第一和第二充分條件. 例4 求的極值點與極值. 解 當時，. 令，得. 又， ，故為的極小值點，為的極小值. Th7.6（極值的第三充分條件）設在的某鄰域內(nèi)存在直到階導數(shù)，在處階可導，且（）， ，則 ①當為偶數(shù)時，在取極值. 且當時，在取極大值；當時，在取極小值. ②當為奇數(shù)時，在無極值. 證 由題設條件及泰勒公式，有 ， 或 ， 其中為時的無窮小量. 因，由極限的保號性，存在，使當時，與同號. ①當為偶數(shù)時，恒有. 故若時，對一切有，于是在取極大值. 當時，對一切有，于是在取極小值. ②當為奇數(shù)時，在的任何鄰域內(nèi)變號，而式右邊第一個因子不變號，從而式右邊在的任何鄰域內(nèi)變號，故不是的極值. 證畢. 注意：Th7.6的條件只是充分的. 例如 它在取極小值. 但它在的任何階導數(shù)都等于零. 補例1（P195.4）設 ①證明：是函數(shù)的極小值點； ②說明在的極小值點處是否滿足極值的第一充分條件或第二充分條件. 解 ①因為對任何，成立，而是區(qū)間 內(nèi)的點，故是函數(shù)的極小值點. ②函數(shù)在處連續(xù)，又時，有 . 在的任何左鄰域內(nèi)，并非恒負；在的任何右鄰域內(nèi)，并非恒正. 故不滿足極值的第一充分條件. ，故，且在處連續(xù). 又 ， 故又不滿足極值的第二充分條件. 補例2（P196.13）求函數(shù)的極值. 解 ， 由并注意得函數(shù)的穩(wěn)定點. - 0 + 0 - ↘ -2 ↗ 2 ↘ 故是極小值點，極小值是；是極大值點，極大值是. 補例3（P196.14）設在，處都取得極值，試定出與的值；并問這時在與是取極大值還是取極小值？ 解 . 因在與處都取得極值，故有與，即有 由此解得，. 于是 . 由于，，就有， 故在是取極小值；，故在是取極大值. 作業(yè) P195. 3. P196. 13 §7.1 函數(shù)的單調(diào)性與極值 第12次課 教學內(nèi)容：函數(shù)的最大值與最小值 目的要求：復習可導函數(shù)函數(shù)極值的第一和第二充分條件，掌握并熟練運用函數(shù)最值的求法. 教學過程： 復習可導函數(shù)取極值的充分條件. 求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值與最小值的步驟： ① 解方程得穩(wěn)定點； ② 找出函數(shù)的導數(shù)不存在的點； ③ 計算個函數(shù)值 ； ④ 比較 例6求函數(shù)在閉區(qū)間上的上的最大值與最小值. 解 因， 故 的大小，得在閉區(qū)間上的最大值與最小值. . 函數(shù)在不可導. 解方程得穩(wěn)定點和， 計算，，，，，于是最大值是，最小值是. 例7 從一塊邊長為的正方形鐵皮的四角剪去同樣大小的正方形， 按虛線折成一個無蓋的盒子，問要剪去 多大的小方塊，方使盒子的容積最大. 解 設剪去小方塊的邊長為，設盒子的容積為，則 ，. 由，得. 比較，，，故當時，盒子的容積最大. 例8一張米高的圖片掛在墻上，它的底邊高于觀察者眼睛米. 問觀察者應站在距墻多遠處看圖才最清楚（即視角最大）？ 解 設觀察者距墻米，觀察者視角設為， 則 , . 由于 ， 則由得在內(nèi)唯一穩(wěn)定點，而 ， ， 故當時，視角最大. 即當觀察者應站在距墻米遠處看圖才最清楚. 補例（P196.16）在拋物線上哪一點的法線被拋物線所截之線段最短？ 解 設為拋物線上滿足要求的一點，. 由于 ，有，. 過點拋物線的法線方程為 . 解方程組 以求法線與拋物線的另一個交點. 將代入，得 . 由韋達定理，得 ， 所以 . 又，故 . 將它代入，得 . 所以 . 令，則由，得 . 由于與同號，故只有. 于是. 故所求的點為. 作業(yè) P108. 6. 7. 9. 11. 17. §7.2 函數(shù)的凸性與拐點 第13次課 教學內(nèi)容：函數(shù)的凸性 目的要求：掌握函數(shù)的凸性這一重要概念，掌握函數(shù)凸性的判別定理，并會熟練運用函數(shù)凸性的判別定理. 教學過程： 函數(shù)和函數(shù)彎曲的方向正好相反，一般有 Def1 設函數(shù)在區(qū)間上有定義. 若對和總有 ， 則稱為上的凸函數(shù). 若對和總有 ， 則稱為上的凹函數(shù). 如果 和總有，則稱為上的嚴格凸函數(shù). 如果對和總有，則稱為上的嚴格凹函數(shù). Lemma 為上凸函數(shù) 對于， 總有 . Lemma的幾何意義是：為上凸函數(shù) 在曲線自左至右依次任取三點，連線的斜率不大于連線的斜率. 證 “” 記，則, 且 . 由的凸性有 . 從而有 ， ， ， . “” 取，不妨設，取，記，則，且，. 由條件，有 ， ， ， ， . 即為上凸函數(shù). 證畢. 同理可證：為上凸函數(shù) 對于， ，總有 . Th7.7 設為區(qū)間上可導函數(shù)，則下述論斷互相等價： ①為上凸函數(shù)，②為上遞增函數(shù)，③對上任意兩點，有 . 證 (①②) 取，，取足夠小的. 由 ，根據(jù)的凸性及引理有 . 由的可導性，當時有 . 所以為上遞增函數(shù). （②③）在閉區(qū)間上，應用拉格朗日中值定理，得 ，. 并且當時，上式也成立. （③①）在閉區(qū)間上，令，則，. 由③，有 ， . 分別用和乘上列兩式并相加，得 . 故為上凸函數(shù). 注意：論斷③的幾何意義是：曲線總在它的任一切線的上方，這是可導凸函數(shù)的幾何特征. Th7.8 設為上二階可導函數(shù)，則為上凸函數(shù) 在上 . 證 由Th7.8和Th7.1立即推得. 作業(yè) P204. 3. 4. §7.2 函數(shù)的凸性與拐點 第14次課 教學內(nèi)容：函數(shù)的凸性（續(xù)），拐點 目的要求：掌握并會熟練運用函數(shù)凸性的判別定理，掌握詹森不等式，掌握曲線拐點概念，學會拐點的判定方法. 教學過程： 復習函數(shù)的凸性概念和Th7.7，Th7.8. 對于可導凹函數(shù)以下三論斷互相等價： ①為上凹函數(shù)， ②為上遞減函數(shù)， ③對上任意兩點，有. 當在上二階可導時，下述論斷也與①②③相等價： ④在上. 例1 討論函數(shù)的凸性. 解 ，. 于是當時，，為上的凸函數(shù)；當時，，為上的凹函數(shù). 例2 若為定義在開區(qū)間內(nèi)可導凸（凹）函數(shù)，則為的極?。ù螅┲迭c 為的穩(wěn)定點，即. 證 只證凸函數(shù)情況. “”由Th7.3得到. “”由Th7.7③，對，有 . 因，故對，有，即為在內(nèi)的極小值點. 例3 設若為開區(qū)間內(nèi)的凸（凹）函數(shù)，證明在內(nèi)任一點都存在左、右導數(shù). 證 只證凸函數(shù)在存在右導數(shù). 設，則對（取足夠小，使） 由Lemma的式有 . 令，由上式知為遞增函數(shù). 今任取且，則對任何，只要，由式也有. 由于上式左邊為定數(shù)，因而函數(shù)在有上界. 根據(jù)Th3.10極限存在， 即存在. 證畢. 由例3及§5.1習題9知：若為開區(qū)間內(nèi)的凸（凹）函數(shù)，則為開區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù). 也就是：凸（凹）函數(shù)在區(qū)間上的間斷點只可能出現(xiàn)在區(qū)間的端點. 例4（詹森不等式）若為上的凸函數(shù)，對， （），且，則. 證 當時，由Def1命題顯然成立. 設時命題成立，即對及，都有 . 設及，. 依次應用和的結(jié)論，得 . 由數(shù)學歸納法，不等式成立. 二 拐點 Def2 設曲線在點處有切線，且穿過曲線，在切點某近旁內(nèi)，曲線在切線的兩側(cè)分別是嚴格凸的和嚴格凹的，這時稱點為曲線的拐點. 拐點正是曲線凸部分和凹部分的分界點. 例1中點為函數(shù)所表示曲線的拐點. 對于正弦曲線，有. 在區(qū)間（）上,是凹的; 在在區(qū)間（）上是凸的，故（）都是拐點. Th7.9 若在二階可導，則為曲線的拐點的必要條件是. Th7.10 設在可導，在內(nèi)二階可導，若在和上的符號相反，則為曲線的拐點. 根據(jù)Th7.10，不難驗證§7.1的例3拐點.實因在上連續(xù)，當時，有, . 故當時，，當時，，曲線是凹的； 當時，，曲線是凸的，從而點是曲線的拐點. 作業(yè) P204. 1. 2. 5. P205. 8. §7.3 函數(shù)圖象討論 第15次課 教學內(nèi)容：函數(shù)作圖的一般程序，曲線的漸近線 目的要求：掌握函數(shù)作圖的一般程序，掌握曲線漸近線的概念，掌握求曲線漸近線的方法. 教學過程： 函數(shù)作圖的一般程序 1. 求函數(shù)的定義域； 2. 考察函數(shù)的奇偶性，周期性； 3. 求函數(shù)的某些特殊點，如與兩坐標軸的交點，不連續(xù)點，不可導點等； 4. 確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值點，凸性區(qū)間以及拐點； 5. 考察漸近線； 6. 根據(jù)討論結(jié)果畫出函數(shù)的圖象. 在列舉函數(shù)作圖的例子之前，先講授曲線的漸近線. 一 漸近線 雙曲線 有兩條漸近線 . Def若曲線上的動點沿著曲線無限地遠離原點時，點與某一固定直線的距離趨于零，則稱直線為曲線的漸近線. 注意 并不是所有能無限伸展的曲線都有漸近線. 例如正弦曲線就沒有漸近線. 漸近線的求法： 設曲線有斜漸近線，如前頁圖所示， . 由漸近線的定義，當（或）時，，從而有 或 . 又由 ， 得 . 于是若曲線有斜漸近線 ，則與應由兩式確定. 反之由兩式確定的與，由與知，從而直線確為曲線的漸近線. 例1 考察曲線的漸近線. 解 記，由式 ，故得； 再由式， ， 故得. 于是所求漸近線的方程為. 1. 若曲線在點存在垂直于軸的漸近線，則有 或 ， . 這時曲線的漸近線方程為，稱為垂直漸近線. 在例1中， 或. 故直線和都是曲線的垂直漸近線. 補例 求曲線的漸近線. 解 先討論斜漸近線： 當?shù)那樾危? ， ， 故是曲線的一條斜漸近線. 當?shù)那樾危? ， ， 故是曲線的又一條斜漸近線. 再考察垂直漸近線： 因，故直線是曲線的兩條垂直漸近線. 作業(yè) 求曲線的漸近線. §7.3 函數(shù)圖象討論 第16次課 教學內(nèi)容：函數(shù)作圖的例題 目的要求：復習并鞏固函數(shù)作圖的一般程序，掌握函數(shù)作圖的方法. 教學過程： 二 函數(shù)作圖 先復習函數(shù)作圖的一般程序： 1． 函數(shù)的定義域； 2． 察函數(shù)的奇偶性，周期性； 3． 求函數(shù)的某些特殊點，如與兩坐標軸的交點，不連續(xù)點，不可導點等； 4． 確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值點，凸性區(qū)間以及拐點； 5． 考察漸近線； 6． 根據(jù)討論結(jié)果畫出函數(shù)的圖象. 例2 討論函數(shù)的性態(tài)，并作其圖形. 解 ①函數(shù)的定義域為； ②曲線與軸交于點，與軸交于點； ③ ， 由，得和. 所以 當時，，函數(shù)嚴增； 當時，，函數(shù)嚴減； 當時，，函數(shù)嚴減； 當時，，函數(shù)嚴增. 故是函數(shù)的極大值，是函數(shù)的極小值； ④ ， 當時，，曲線是凹的； 當時，，曲線是凸的； ⑤因，故直線是曲線的垂直漸近線；因 ， . 故曲線有斜漸近線 . 將③④結(jié)果列表如下： + 0 - - 0 + - - - + + + -↗凹 -2，極大 -↘凹 +↘凸 0，極小 +↗凸 ⑥根據(jù)上述討論結(jié)果，畫出函數(shù)的圖象 補例 討論函數(shù)的性態(tài)，并作其圖形. 解 ①函數(shù)的定義域為. ②曲線與軸交于點，與軸交點也是. ③，由，得. 當時，， 嚴增；當時，，嚴減； 從而是極大值點. ④，由，得. 當時，， 嚴凹；當時，，嚴凸. 時，，故點是曲線的拐點. ⑤，，而函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)，沒有垂直漸近線，只有斜漸近線. ⑥綜上結(jié)果，作圖如下： 作業(yè) P210. 1. 2. §7.4 方程的近似解 第17次課 教學內(nèi)容：用牛頓切線法求方程的近似解 目的要求：掌握牛頓切線法及迭代法的概念，掌握求方程的近似解的迭代程序，掌握估計誤差的方法. 教學過程： 在實際應用中，需要求方程 的近似解，今介紹牛頓切線法. 設在上二階可導，且和均不為零. 不妨設，，即在上是嚴格遞減嚴凸函數(shù). 又設，，則由連續(xù)函數(shù)的介值性及函數(shù)的嚴格遞減性，知方程在開區(qū)間內(nèi)存在唯一解. 牛頓切線法的基本思想是構(gòu)造一點列，使得，且當充分大時，可以作為的近似值，即的近似解. 其中 ，，. 下面證明由式給出的數(shù)列收斂于. 由于，所以在上嚴凸，所以對，有 . 過點的切線方程為 ， 它與軸交點橫坐標為 ， 令，這個交點橫坐標記為，即 . 由式知，且. 過點作切線交軸，交點橫坐標為 ， 過點作切線交軸，交點橫坐標為 ， 依次類推，得公式，且. 數(shù)列遞增且有上界，故存在，設，則對式取極限，得 ， 因而. 再由方程解的唯一性，得. 其次估計作為近似值的誤差：由中值公式， ，. 得 . 記，則 . 最后由以上四幅圖歸納出：當時，?。划敃r，取. 例 用切線法求方程的近似解，使誤差不超過. 解 設，則，，，，于是在內(nèi)方程至少有一個實根. 又在閉區(qū)間上，故在內(nèi)方程有唯一一個實根. 當時，.于是在上，取. 由公式，. 在閉區(qū)間上， 由公式，. 因此誤差不合要求. 由公式， . 由公式，. 故取即可. 經(jīng)過對函數(shù)性態(tài)的研究，知除再無其它實根. 故即為所求. 作業(yè) P213. 1. 習題課 第18次課 教學內(nèi)容：復習本章內(nèi)容，解答本章難題 目的要求：復習掌握本章主要內(nèi)容，處理主要難題，使學生掌握處理實際問題的常用方法和一些技巧方法. 教學過程： 一 復習 ① 函數(shù)的單調(diào)性與極值 函數(shù)單調(diào)的充要條件，函數(shù)嚴格單調(diào)的充要條件，極值的必要條件，極值的第一、二、三充分條件，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值； ② 曲線的凹凸與拐點 可導函數(shù)凸性的等價條件，二階可導函數(shù)凸性的充要條件，詹森不等式，拐點； ③ 曲線的漸近線 斜漸近線：，，； 垂直斜漸近線：，. 二 問題解答 1. 討論函數(shù) 在點函數(shù)是否可導？ 在點的任何鄰域內(nèi)函數(shù)是否單調(diào)？ 解 因，故在點函數(shù)可導. 當時，. 因此函數(shù)在點的任何鄰域內(nèi)可導. 但因為 且時，. 所以在點的任何鄰域內(nèi)總是變號的，從而在點的任何鄰域內(nèi)函數(shù)都不單調(diào). 2.設函數(shù)在上具有二階導數(shù)，且，在內(nèi)取得最大值，證明：. 證 設在處取最大值，它同時也為極大值，又在點可導，由費馬定理知. 在，上分別對應用拉格朗日定理有 ，， ，， 由已知條件，對上兩式取絕對值相加即得 . 3.設在上可微，且，，證明：在上. 證 因，有，即 ，從而是減函數(shù)，于是當時，， 所以當時，. 又當時，， 所以當時，. 4.設滿足，其中為任一函數(shù)，證明：若，則在上恒等于零. 證 反證法. 設在上不恒等于零，則至少存在一點，使. 不妨設，則在內(nèi)的某點取正的極大值，從而，. 又 ， 所以，與矛盾. 故在上恒等于零. 5. 證明：為上凸函數(shù) 對任何，函數(shù)為上的凸函數(shù). 證 “”設為上凸函數(shù)， 則對任意及 ，有 . 由定義，為上的凸函數(shù). “”設為上的凸函數(shù)，則對任何及，有 . 由定義，為上凸函數(shù). 6. 證明：若均為區(qū)間上的凸函數(shù)，則 也是上的凸函數(shù). 證 設為區(qū)間上任意兩點，，則 ， . 從而 {，} . 故是上的凸函數(shù). 作業(yè) P214. 1. 2. 3. 4. 57