數(shù)學分析全套教案(附有答案的試卷20余套)
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二、曲率
曲線上各處的彎曲程度是描述曲線局部形態(tài)的又一重要標志.
考察右圖所示平面光滑曲線，我們發(fā)現(xiàn)弧段與的長度相差不多而彎曲程度很不一樣，當動點沿曲線從移至時切線的轉(zhuǎn)角比動點從移至時切線的轉(zhuǎn)角大得多.這為我們提供了一種衡量曲線彎曲程度的方法.
設(shè)表示曲線在點處切線的傾角.表示動點由點移至時切線傾角的增量.若之長為，則稱
為弧段的平均曲率，如果極限
存在，則稱此極限為曲線 在點點的曲率.
由于假設(shè)為光滑曲線，故總有
或
又若二階可導，則由公式（8）可得
所以曲率公式為
若曲線由表示則相應的曲率公式（9）為
例題6 求橢圓 上使曲率為最大和最小的點.
解 由于 根據(jù)公式（9）得
因為在 時最小 ，在時最大，所以當時，在 （即長軸端點）處有最大曲率 ，在 （即短軸端點）處有最小曲率
若在例題4中 ，橢圓成為圓時，顯然有
即在圓上各點處的曲率相同，其值為半徑的倒數(shù).
容易知道，直線上處處曲率為零.
設(shè)已知曲線在其上一點處的曲率 若過點作一個半徑為的圓，使它在點與曲線有相同的切線，并與曲線位于切線的同側(cè)（圖11-17）.我們把這個圓稱為曲線在點的曲率圓或密切圓，其半徑 ，稱為曲線在點的曲率半徑.由曲率圓的定義可以知道，曲線在點既與曲率圓有相同的切線，又與它有相同的曲率和相同的凸性.
例題5 鐵路的彎道分析.
火車軌道從直道進入半徑為的圓弧形彎道時，為了行車安全，必須經(jīng)過一段緩沖的軌道，以使鐵道的曲率由零連續(xù)地增加到（保證向心加速度不發(fā)生跳躍性的突變）.
設(shè)鐵道如圖11-18所示，其中軸表示直線軌道，是半徑為的圓弧軌道（點為圓心），為緩沖曲線，我國一般采用的緩沖曲線是三次曲線
其中 為曲線段的弧長.
對曲線（11）應用公式（10），其曲率
當 從0變?yōu)闀r曲率從0連續(xù)地變?yōu)?
若以直線段的長近似地代替的長， 即 則有
若比值很小，那么可略去項，得
因此緩沖曲線的曲率從0逐漸增加到，從而起到了緩沖作用.
§4 旋轉(zhuǎn)曲面的面積
定積分的所有應用問題一般可按“分割、近似求和、取極限”這三個步驟到出所求量的積分表達式.但為簡捷使用起見，也采用下面介紹的“微元法”.本節(jié)亦將采用此法來導出旋轉(zhuǎn)曲面面積的計算公式.
一 微元法
在上一章我們已經(jīng)知道，若令，則當為連續(xù)函數(shù)時，或且
現(xiàn)在恰好要把問題倒過來：如果所求量是分布在區(qū)間上的，或者說它是區(qū)間的端點的函數(shù)，的變化范圍為且適為最終所求值/
在任意小區(qū)間 上，若能把所求量的微小增量近似表達為的線性形式
而且當時，亦即
其中為某一連續(xù)函數(shù)，這樣，只要把定積分計算出來，就是該問題所求的結(jié)果.
上述獲得未知量的微分表達式（2）的方法成為微元法.在采用微元法時，必須注意如下兩點：
1） 所求量關(guān)于區(qū)間必須是代數(shù)可加的，這是由定積分概念所決定的，因而在任何定積分的應用問題中都不可忽視.
2） 微元法的關(guān)鍵是正確給出的近似表達式（1），通常情況下，要檢驗是否為的高階無窮小往往不是一件容易的事.因此對（1）式的合理性需特別小心謹慎.
對于前幾節(jié)中所求的平面圖形面積，已知截面函數(shù)的立體體積和曲線弧長，改用微元法來處理，所求量的微元近似表達式分別為
或
其中弧微分的幾何意義是微分三角的斜邊.如果把的近似表達改取為將導致的明顯錯誤，其原因就在于此時不再是的高階無窮小量.
二 旋轉(zhuǎn)曲面的面積
設(shè)平面光滑曲線 的方程為：
這里這條曲線段繞軸旋轉(zhuǎn)一周到旋轉(zhuǎn)曲面（圖11-19），下面我們用微元法求的面積.
通過軸上的點與分別作垂直于軸的平面，它們旋轉(zhuǎn)面上截下一條狹帶（圖11-20）.當很小時，此狹帶的面積近似于一圓臺的側(cè)面積，即
其中由于連續(xù)，當充分小時，有
從而（3）變?yōu)榛?
這又可簡單地看作一圓柱片的側(cè)面積，該圓柱的底圓半徑為厚為，積分后得到旋轉(zhuǎn)曲面的面積公式為：
例題1 計算圓在上的弧段繞軸旋轉(zhuǎn)所得球帶的面積
解 對曲線，應用公式（4）得
當時，則得半徑為的球的表面積公式：
如果平面光滑曲線由參量方程表示，且設(shè) （用來保證曲線上的點的坐標單調(diào)遞增）及那么由它軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的面積公式為
例題2 計算由星形線 （見圖11-13）繞 軸所得旋轉(zhuǎn)體的表面積.
解 由曲線的對稱性及公式（5），得
=
§5定積分在物理上的某些應用
定積分在物理上有廣泛的應用，在第十章§1 中曾提到可用定積分計算變力所作的功.現(xiàn)在再舉一些例子.
一 壓力
例題1 一直徑為6 米的圓形管道，有一道閘門，問盛水半滿時，閘門所受的壓力為多少？
解 為方便起見，取軸與軸如圖11-21所示，只需求出圓 在第一象限部分所受的壓力則整個閘門所受壓力便是
由于在相同深度處壓強（即單位面積所受壓力）相同，故當很小時，閘門從深度到的一層上各點的壓強等于水的比重（1噸/米）乘深度，即上各點壓強，
由于的面積近似于，所以在上所受的壓力
從而，通過計算從0到3的積分，即得
所以整個閘門所受壓力為18噸.
二 功
例題2 一錐形水池，池口直徑20 米，深15米，池中盛滿了水.求將全部池水抽到池口外所作的功.
解：為方便起見，取軸與y軸如圖11-22所示，考慮將池中深度到的一層水抽出池口所作之功. 由于抽出相同深度出的單位體積之水需做相同的共，即等于水的比重乘深度.故當很小時，抽出中每一單位體積之水所作的功近似等于.而
所以抽出體積之水所作的共為
求從0 到15的積分，得到將全部池水抽到池口外所作的功
三 靜力矩與重心
例題3 求密度均勻薄板的靜力矩與重心坐標,薄板形狀為曲線，直線和坐標軸所圍的曲邊梯形（圖11-23）
解 因為薄板的密度均勻，不妨設(shè)于是圖形任一部分的質(zhì)量可由它的面積來度量
為求靜力矩，我們把圖形截成寬度為的豎條，每一豎條可近似看作一長方形，其質(zhì)量（面積也可以這個數(shù)表示）為,并假定質(zhì)量全部集中在它的中心（即長方形的中心），即重心到軸的距離是,到軸的距離是于是豎條對二條坐標軸的靜離矩（靜力矩=質(zhì)量×距離）分別為
當時為高階無窮小，于是
積分得
由于薄板的面積和質(zhì)量是
所以薄板的重心坐標為
四 平均值
例題4 已知220伏交流電的電壓，其中電壓幅值，角頻率.若電阻為（單位：歐姆）求電流通過的平均功率.
解 我們知道直流電路通過電阻消耗的功率為
其中為電流，因為直流電流的大小和方向固定，所以為常數(shù)，因此功率也是常數(shù)，在經(jīng)過時間以后，消耗的功
但對于交流電來說，電流不是常數(shù)，從而通過電阻所消耗的功率是時間的函數(shù)，因此在一周期時間內(nèi) 的平均功率為
其中為時間內(nèi)所消耗的功.
在內(nèi)取時間間隔，那么在內(nèi)所消耗的功是
由歐姆定律，所以，由于在一個周期 秒時間內(nèi)所消耗的功為
因此平均功率為
=
（由于上述平均功率的值相當于220伏直流電在電阻上消耗的功率，因此把伏的交流電簡稱為220伏交流電）
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